Глава 6
СТАТИСТИЧЕСКИЕ И ТОЧНОСТНЫЕ СВОЙСТВА КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА

6.1 Вводные замечания

В предыдущих главах мы выяснили, что одной из узловых проблем при датировании Альмагеста по собственным движениям звезд является проблема реальной точности звездных широт каталога Альмагеста в различных областях неба. Таким образом, необходим тщательный анализ ошибок звездных координат как каталога в целом, так и его частей по отдельности. Предварительный, довольно грубый анализ был уже проведен выше, в главах 2 и 4.

Основным инструментом этой главы будут методы определения систематических ошибок звездных координат, описанные в главе 5. Прежде всего, мы покажем, что выделенные выше семь областей звездного атласа Альмагеста действительно отличаются друг от друга как величиной систематической ошибки, так и случайными погрешностями измерений. Мы найдем для этих областей ошибки в положении полюса эклиптики и величины остаточных среднеквадратичных ошибок звездных координат. Кроме того, в каждой области будут построены доверительные интервалы для параметров систематической ошибки _stat и _stat.

Далее, мы проанализируем сравнительно малые участки звездного неба – созвездия и окружения отдельных звезд. Цель этого анализа – убедиться, что найденные значения _stat и _stat действительно имеют природу систематических ошибок в достаточно больших частях каталога Альмагеста, а не являются результатом наложения множества групповых ошибок, различных для разных небольших групп звезд.

В результате, будет выделена хорошо измеренная Птолемеем область звездного неба. Забегая вперед, отметим, что эта область оказалась довольно значительной. Наша датировка каталога Альмагеста будет основываться на птолемеевских координатах звезд именно в этой, хорошо измеренной им области.

6.2 Семь областей звездного неба

6.2.1 Характеристика обнаруженных семи областей в атласе Альмагеста

В главе 2 были описаны семь областей звездного неба, естественным образом выделяющиеся на небе, а также отчетливо "проявляющие себя"в каталоге Альмагеста, рис.6.1.

В этой главе мы проанализируем птолемеевские координаты в общей сложности 864 звезд из этих областей. Некоторые звезды при данном анализе были сразу отброшены. Так, по причинам, разъясненным в главе 2, были исключены из рассмотрения так называемые звезды-информаты, то есть звезды не входящие в канонические созвездия. Мы исключили также звезды-"выбросы", и неоднозначно отождествляемые звезды. Табл.6.1 содержит точные указания – какие именно звезды Альмагеста входят в ту или иную область и какое количество звезд осталось в каждой области после указанной "чистки". В этой таблице для звезд использованы номера Байли, то есть сквозные номера в каталоге Альмагеста.

Обратимся к рис.6.1, схематично изображающему разбиение неба на указанные области. На нем черными точками отмечены все 12 именных звезд Альмагеста. Легко видеть, что контур области A совершенно явно очерчен именными звездами Альмагеста. Возникает впечатление, что Птолемей придавал области неба A какое-то особое значение. Это подтвеждается и нашим предварительным анализом в главе 2. Как мы увидим в дальнейшем, часть A оказывается самой важной для датировки. Отметим, между прочим, что именно эта часть содержит полюс мира N и полюс эклиптики P.

Именные звезды, окаймляющие область A, по всей видимости служили опорными для наблюдений Птолемея. Отправляясь от них, он двигался внутрь части неба A, измеряя координаты остальных звезд. При движении от звезды к звезде неизбежно накапливались ошибки измерений. Поэтому можно ожидать, что звезды области неба A, лежащие вне Зодиака, будут в среднем измерены чуть хуже, чем зодиакальные звезды. Поскольку половина именных звезд Альмагеста, – 6 из 12-ти – либо лежат на Зодиаке, либо находятся в непосредственной близости от него. На Зодиаке расположены Регул, Спика, Антарес, Превиндемиатрикс, Аселли. Непосредственно примыкает к Зодиаку Процион.

6.2.2 Расположение полюсов эклиптики для каждой из семи областей звездного атласа Альмагеста

Найдем сначала расположение полюсов эклиптики для каждой из семи выделенных нами областей неба в Альмагесте. В главе 5 показано, что положение полюса эклиптики относительно звезд каталога задается параметрами _stat и _stat. Эти параметры определяются по каталогу методом наименьших квадратов по формулам (5.3.6) и (5.3.7).

Рассчитаем по формулам (5.3.6) и (5.3.7) значения параметров _stat и _stat для каждой из семи областей неба по отдельности. После этого изобразим соответствующее каждой области положение полюса эклиптики на рис.6.2. Кроме того, на этом же рисунке изобразим движение РЕАЛЬНОГО полюса эклиптики P(t) при изменении априорной эпохи t от 1 до 25. То есть, напомним, – от 1900 года н.э. в прошлое до 400 года до н.э.

На этом рисунке изображен в качестве примера отрезок, соединяющий полюс эклиптики для части неба B с реальным полюсом эклиптики в эпоху t = 10, который обозначен P(10). Длина этого отрезка равна величине _stat^В(10). Угол между этим отрезком и прямой, изображающей дугу D(10)D(10), определение которой было дано в связи с рис.5.4 и рис.5.5, равен _stat^В(10). Естественно, в качестве t можно взять любую другую эпоху, а вместо области B любую другую область – и "считать"с рис.6.2 соотвествующие значения _stat и _stat.

В табл.6.2 приведены рассчитанные нами значения _stat(18) и _stat(18) для всех семи областей неба. Эти значения однозначно задают положение полюса "эклиптики наблюдателя"для каждой области по отдельности. Впрочем, мы могли бы с тем же успехом взять любую пару значений _{stat( t)}, _{stat( t)} для произвольного t. См. раздел 5.4. Кроме того, в табл.6.2 приведены исходная _init(18) и остаточная _min среднеквадратичные широтные невязки, получившиеся после компенсации систематической ошибки. См. формулы (5.3.2), (5.3.3). В разделе 5.4 мы показали, что _min не зависит от рассматриваемого момента времени t, если пренебречь слабым влиянием собственного движения звезд. Таким образом, _min задается лишь положением полюса эклиптики, статистически определяемого по данной группе звезд Альмагеста.

По поводу собственного движения звезд отметим, что оно практически не влияет ни на оценку систематической ошибки _{stat( t)}, _{stat( t)}, ни на остаточную среднеквадратичную погрешность звездных координат в каталоге Альмагеста. Поэтому о влиянии собственных движений мы здесь пока можем не говорить. Хотя, конечно, в наших расчетах оно всегда учитывалось.

Значение t = 18 выбрано в табл.6.2 лишь по причине соответствия этого момента времени скалигеровской датировке Альмагеста.

Далее, в табл.6.2 приведены следующие статистические характеристики точности звездных координат Альмагеста. Величина p _init(18) – это доля звезд, получивших при датировке каталога 100-м годом н.э. (t = 18) широтную невязку не более 10. Напомним, 10 – это цена деления шкалы каталога Альмагеста. Величина p _min – это доля звезд, получивших широтную невязку не более 10 после компенсации систематической ошибки. Для рассматриваемых здесь больших совокупностей звезд эта величина от датировки наблюдений практически не зависит.

Показанное на рис.6.2 расположение статистически определяемых полюсов Альмагеста по отношению к траектории движения истинного полюса говорит о том, что СИСТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА во всех областях неба, кроме области C, "УДРЕВНЯЕТ"каталог даже по сравнению со временем Гиппарха. Напротив, минимум систематической ошибки в области неба C приходится на t 10, то есть на 900 год н.э. Однако, как указывалось ранее, расположение полюса "эклиптики Птолемея"НЕ ИМЕЕТ НИКАКОГО ОТНОШЕНИЯ К ДАТЕ СОСТАВЛЕНИЯ КАТАЛОГА. Это расположение указывает лишь на характер и величину систематической ошибки, совершенной Птолемеем при измерении координат звезд в той или иной части неба.

Из рис.6.2 следует также, что статистически определяемые положения полюса для областей A,ZodA,ZodB расположены достаточно близко друг к другу. То есть, в этих частях неба Птолемеем сделана по-видимому ОДНА И ТА ЖЕ СИСТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА. Мы вернемся к этому ниже при анализе отдельных созвездий Альмагеста. Далее, полюс эклиптики, определяемый по области В каталога Альмагеста, как видно из рис.6.2, тоже расположен тоже рядом с группой A,ZodA,ZodB. Несколько дальше отстит положение полюса для области M и еще дальше – для D. По-видимому, в областях M и D систематическая ошибка Альмагеста другая, отличная, от ошибки в области ZodA. Явным "выбросом"на рис.6.2 выглядит область C.

6.2.3 Вычисление доверительных интервалов

В предыдущем разделе, для неизвестных нам параметров систематической ошибки каталога Альмагеста и varphi были вычислены точечные статистические оценки _stat и _stat. Найдем теперь соответствующие ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ для и varphi. Определение доверительных интервалов мы уже напоминали в разделе 5.5.

Представим результат в наглядной форме следующим образом. Сначала для каждой из рассматриваемых областей неба построим графики зависимости от t оценок _{stat( t)} и _{stat( t)}, 1 t 25. Затем изобразим на получившихся графиках полосы, вертикальными сечениями которых являются доверительные интервалы I (),I () с уровнем доверия = 0, 1. Доверительные интервалы мы рассчитаем по формулам (5.5.10) и (5.5.11).

Результат расчетов показан на рис.6.3 – рис.6.9. Более полная информация о границах доверительных интервалов для различных уровней доверия и двух значений априорной датировки каталога Альмагеста, – t = 7(1200г.н.э.) и t = 18(100г.н.э.) – содержится в табл.6.3. В этой таблице приведены значения полуширины доверительных интервалов I (). Напомним, что центром доверительного интервала для при каждом фиксированном t является несмещенная оценка _{stat( t)}. См. раздел 5.5. Доверительный интервал I () для располагается, вообще говоря, асимметрично относительно _{stat( t)}, поскольку эта оценка может быть смещена. Однако указанная асимметрия достаточно мала и приближенно можно считать _{stat( t)} серединой доверительного интервала. Через x в таблице обозначена полуширина интервала I (), а через x – полуширина интервала I ().

Рис. 6.3:

Поведение систематических ошибок stat( t), stat( t) и stat( t) для области неба А в Альмагесте

Рис. 6.4:

Поведение систематических ошибок stat( t), stat( t) и stat( t) для области неба В в Альмагесте

Рис. 6.5:

Поведение систематических ошибок stat( t), stat( t) и stat( t) для области неба C в Альмагесте

Рис. 6.6:

Поведение систематических ошибок stat( t), stat( t) и stat( t) для области неба D в Альмагесте

Рис. 6.7:

Поведение систематических ошибок stat( t), stat( t) и stat( t) для области неба М в Альмагесте

Рис. 6.8:

Поведение систематических ошибок stat( t), stat( t) и stat( t) для области неба ZodA в Альмагесте

Рис. 6.9:

Поведение систематических ошибок stat( t), stat( t) и stat( t) для области неба ZodB в Альмагесте

Цифры, приведенные в табл.6.2 и табл.6.3, позволяют сделать следующие выводы. Наиболее точно измерены в Альмагесте звезды из области неба ZodA. Это видно из того, что компенсация обнаруженной систематической ошибки для этой группы звезд позволила снизить среднеквадратичную ошибку до 12, 8. При этом оказалось, что около 64% звезд получили после компенсации широтную невязку менее 10.

Следующей по точности группой звезд в Альмагесте является область A. Там среднеквадратичная широтная невязка снизилась после устранения систематической ошибки до 16, 5. При этом число звезд, имеющих широтную невязку меньше 10, возросло в этой области более чем до 50%.

Доверительные интервалы I () и I () для областей неба ZodA и A оказались близки по размерам. См. табл.6.3. Хотя точность измерений в области неба ZodA выше, чем в области A. Это объясняется разным числом звезд в этих областях. Размер доверительного интервала тем больше, чем меньше звезд. И тем меньше, чем выше точность измерений.

Данные табл.6.2 ПОДТВЕРЖДАЮТ ПРЕТЕНЗИИ СОСТАВИТЕЛЯ КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА НА ТОЧНОСТЬ В 10. По крайней мере – для широт звезд.

Следующими по точности измерений оказываются группы звезд Альмагеста в частях неба B и ZodB. Их точностные характеристики весьма близки. Остаточная среднеквадратичная ошибка равняется приблизительно 19. Звезды с широтной невязкой меньше 10 составляют около 44% в этих группах. Положения полюса эклиптики, определяемые по этим частям неба в Альмагесте хотя "на глаз"и близки к положениям полюса для A и ZodA, но попадают в соотвествующие доверительные полосы лишь при достаточно малых значениях 0, 01. Это означает, что систематические ошибки в областях неба B и ZodB могут отличаться от ошибок в областях неба A и ZodA. Кроме того, в частях неба A и ZodA звезды измерены существенно точнее, чем в областях неба B и ZodB. Ниже мы приведем дополнительные аргументы, подтверждающие это обстоятельство.

Звезды в областях неба C,D, М измерены в Альмагесте хуже, чем в частях неба A и B. Более того, в этих областях значения оценок _stat и _stat попадают в доверительные интервалы для _stat и _stat по областям неба A,ZodA,B и ZodB лишь при достаточно малых . Это означает, что мы обязаны допустить в C,D, М наличие таких систематических ошибок Альмагеста, которые отличаются от систематической ошибки в областях A,ZodA,B и ZodB.

При анализе табл.6.2 и табл.6.3 уже возникал вопрос о том, какое изменение среднеквадратичной ошибки следует считать большим, а какое - малым. Для решения этого вопроса воспользуемся анализом чувствительности, проведенным в главе 5. Схема решения иллюстрируется на рис.6.10.

На координатной плоскости (,) изобразим эллипсоидальные линии уровней функции ²(,,t), см. формулу (5.3.9). На этой же плоскости изобразим прямоугольник R(), имеющий координатные проекции I () и I (). На рис.6.10 это – заштрихованный прямоугольник. Тогда вероятность того, что истинное значение систематической ошибки (,) лежит в этом прямоугольнике, не меньше, чем 1 - 2. Найдем _max²() = max ²(,,t), где максимум берется по всем парам (,) R(). Найденная величина _max() определяет допустимую, – с уровнем доверия 1 - 2, – среднеквадратичную широтную невязку. А разность _max() -- _min определяет допустимое увеличение среднеквадратичной невязки из-за неточности оценивания параметров и значениями _stat и _stat.

В табл.6.4 для областей неба A и ZodA приведены величины a₁₁,a₁₂,a₂₂ на момент t = 18, определяющие линии уровня среднеквадратичных ошибок. Линии уровня определяются формулой (5.3), в которой надо измерять в дуговых минутах, а – в градусах. В таблице приведены также величины = _max() - _min, рассчитанные для "крайних"значений = 0, 1 и = 0, 005. Отметим, что полученные величины, оказывается, мало меняются со временем. Эти цифры показывают уверенное разделение по точности областей неба A и ZodA, с одной стороны, и областей неба B и ZodB – с другой. В самом деле, даже при уровне доверия 1 - 2 = 0, 99 среднеквадратичная ошибка в доверительной области, построенной для области ZodA, не достигает минимального значения ошибки, полученного для областей неба B и ZodB.

Аналогичное утверждение верно и для части неба A. Хотя _max ^A для области неба A и больше _min^В, но это превышение происходит лишь при 0, 01. При остальных значениях уровни ошибок в областях неба A и B следует считать существенно различными. То есть, разделяемыми статистическим критерием. Отметим здесь же, что точно такие же звезды из группы ZodA, уверенно отличаются по точности от звезд из области неба A, так как при ВСЕХ рассмотренных значениях величина _max, найденная для Zod A, является меньшей, чем _min, полученная для части неба A.

Далее, табл.6.3 показывает, что параметр _stat определяется недостаточно устойчиво, особенно для "плохих"в Альмагесте областей неба C,D,M. Об этом говорят размеры доверительных интервалов I (). Так, для области C полная ширина этого интервала превышает 180 градусов!

6.3 Анализ отдельных созвездий Альмагеста

6.3.1 Составитель Альмагеста мог делать для каждой малой группы созвездий свою ошибку

Дальнейший анализ порожден следующей проблемой. Параметры _stat и _stat, определяющие систематическую ошибку, были найдены по некоторой большой совокупности звезд. Они соответствуют такому повороту эклиптики, который минимизирует среднеквадратичную невязку звезд из этой совокупности. Однако нельзя априори исключать вариант, состоящий в том, что составитель делал для каждой малой совокупности звезд, например для созвездий, свою групповую ошибку. В этом случае параметры _stat и _stat представляют собой лишь некоторые усредненные значения истинных групповых ошибок и будут нам мало полезны.

Обратим внимание, что размеры доверительных интервалов для величин _stat, найденные в разделе 2, весьма велики. Это может объясняться как нечувствительностью широтных невязок к углу поворота , так и "несистематичностью"ошибки _stat. Иначе говоря, вероятен случай, что параметры _stat и _stat могут иметь различную природу. То есть, _stat является результатом ошибки, совершенной наблюдателем относительно ВСЕХ звезд – ошибка в положении эклиптики. А _stat – это результат наложения и усреднения индивидуальных ошибок. Такая разница в поведении параметров легко объяснима, если рассмотреть, например, основной астрономический прибор тех времен – армиллярную сферу. См. главу 1. В этом измерительном приборе УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ ЭКВАТОРА И ЭКЛИПТИКИ ФИКСИРУЕТСЯ РАЗ И НАВСЕГДА. ЕСЛИ ПРИ ЭТОМ БЫЛА ДОПУЩЕНА ОШИБКА, ТО ОНА ДОЛЖНА ПРИСУТСТВОВАТЬ В КООРДИНАТАХ ВСЕХ ЗВЕЗД, КОТОРЫЕ БЫЛИ ИЗМЕРЕНЫ С ПОМОЩЬЮ ДАННОЙ АРМИЛЛЯРНОЙ СФЕРЫ. Ошибка же в угле имеет другую природу. Она индивидуальна для каждой звезды и меняется при переходе от измерения координат одной звезды к другой.

Поэтому стоит определить групповые ошибки для отдельных созвездий Альмагеста и сравнить их с систематической ошибкой наиболее хорошо измеренной совокупности звезд ZodA.

6.3.2 Вычисление систематических ошибок для отдельных групп созвездий в Альмагесте

В этом разделе исследуется 21 малая совокупность звезд Альмагеста. Их перечень содержится в табл.6.5, структура которой полностью аналогична структуре табл.6.1. Дополнительно укажем лишь на принцип отбора малых звездных конфигураций. Это все зодиакальные созвездия Альмагеста, а также окружения именных звезд. Не рассматривались лишь окружения звезд Канопус и Превиндемиатрикс, – по причинам, указанным выше, – а также звезды Процион, из-за исключительной малочисленности звезд его окружения.

Нахождение ГРУППОВЫХ ОШИБОК для отдельных созвездий Альмагеста связано со следующими трудностями. Рассмотрим какую-либо группу звезд G и найдем для нее методом наименьших квадратов значения _stat ^G и _stat ^G. При этом определится минимально возможная остаточная среднеквадратичная широтная невязка _min ^G. А также – доля звезд p _min ^G, по отношению к моменту времени t = 18, имеющих остаточную широтную невязку менее 10. Однако ввиду МАЛОЧИСЛЕННОСТИ отдельных групп звезд, статистическая погрешность оценок _stat ^G и _stat ^G слишком велика, чтобы делать на основе полученных данных какие-либо достоверные заключения. Поэтому мы найдем, кроме того, значения ₁ ^G и p ₁ ^G, – по отношению к моменту времени t = 18, – которые равны среднеквадратичной широтной невязке и доле звезд, имеющих широтную невязку не более 10. При условии, что полюс эклиптики совпадает с полюсом, определенным для наиболее хорошо измеренной совокупности звезд области ZodA. То есть, при том условии, что групповые ошибки равны величинам _stat ^ZodA и _stat ^ZodA.

Если величина ₁ ^G превышает минимально возможное значение _min ^G незначительно, то мы вправе считать, что групповая ошибка в совокупности звезд G совпадает с систематической ошибкой в области неба ZodA. Разность величин p₁ ^G и p _min ^G представляет собой еще один критерий близости групповой и систематической ошибок. Напомним, что величины _min ^G и ₁ ^G не зависят от времени для неподвижной совокупности звезд и слабо зависят от него для подвижных звезд. Аналогичное утверждение верно и для количества звезд, попадающих в 10-минутный интервал для широтной невязки.

Рис. 6.11:

Зависимости min,1, init,p min,p1,p init для зодиакальных созвездий

Рис. 6.12:

Зависимости min,1, init,p min,p1,p init для окружений именных звезд

Табл.6.6 содержит вычисленные нами числовые данные. Наглядно они представлены на рис.6.11 и рис.6.12. Рис.6.11 содержит информацию о величинах _min ^G и ₁ ^G, а также о p _min ^G и p ₁ ^G для всех зодиакальных созвездий Альмагеста. Они обозначены здесь Z1,...,Z12. На рис.6.12 представлены соответствующие результаты для окружений именных звезд Альмагеста. Они обозначены здесь S1,...,S9. Следует сказать, что для именных звезд Альмагеста, которые являются зодиакальными, их окружение не совпадает полностью с соответствующим созвездием Зодиака. Это окружение представляет собой группу звезд этого созвездия, получивших название в системе Байера. Совокупность таких звезд составляют сравнительно более яркие и, как правило, надежно отождествляемые в Альмагесте звезды. Это обстоятельство повышает надежность выводов.

6.3.3 Групповые ошибки по созвездиям из хорошо измеренной области неба в Альмагесте практически совпадают с систематической ошибкой, обнаруженной для этой области в целом

Из приведенных графиков и табл.6.6 следует, что зодиакальные созвездия из части неба ZodA, – а именно, Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, – обладают в Альмагесте следующим замечательным свойством. Среднеквадратичная ошибка ₁ и доля звезд с широтной невязкой не более 10, полученные в предположении, что групповая ошибка равна ( _stat ^ZodA, _stat ^ZodA), НЕЗНАЧИТЕЛЬНО ОТЛИЧАЮТСЯ от величин _min и p _min, получаемых при оптимальном для рассматриваемого созвездия положении полюса эклиптики. Наибольшее отличие отмечено в "наиболее благополучном"созвездии Весов, где все величины _init, _min и ₁ не превосходят 10, а p _init = p _min = p₁ = 83, 3% . Такова доля звезд, имеющих широтную невязку не более 10. Равенство p _init = p₁ = p _min объясняется просто. Данное созвездие лежит почти на оси равноденствия и поворот практически не оказывает на него влияния.

Однако и для созвездий из части неба ZodB в Альмагесте сделанный вывод также может быть принят. Хотя и с бДольшими оговорками. Впрочем, далее для нас справедливость или несправедливость этого вывода значения иметь не будет, так как в части ZodB НЕТ НИ ОДНОЙ ИМЕННОЙ ЗВЕЗДЫ. Тем не менее, отметим один занятный факт, выявленный для созвездия Овна. Хотя после компенсации обнаруженной систематической ошибки, величина ₁ понизилась по сравнению с _init несущественно (заметим, что и _min отличается от _init ненамного), но p₁ p _init = p _min. То есть, помещение полюса эклиптики в найденную для ZodA точку позволило резко, до 72,7%, повысить долю хорошо измеренных в Альмагесте звезд в созвездии Овна.

Общий вывод, который вытекает из рассмотрения всех зодиакальных созвездий, следующий. Если для оптимальной величины _min выполнено соотношение _{min init}, то предположение о том, что групповая ошибка равна систематической, для области неба ZodA, и последующая компенсация этой ошибки ведет к соотношению _{1 init}. При этом справедливы также соотношения p₁ p _init, p _min p _init. Подобным свойством обладают в Альмагесте созвездия Близнецов, Рака, Льва, Девы, Скорпиона, Козерога, Водолея.

Если величина _min близка к _init, то, как правило, _{min 1 init} и эффект от помещения полюса эклиптики в точку, соответствующую части неба ZodA, мало заметен. Этим свойством обладают в Альмагесте созвездия Овна (как мы отмечали, для него резко повысилась доля хорошо измеренных звезд), Тельца, Весов, Стрельца, Рыб. Среди отмеченных созвездий хорошие точностные свойства Весов, из части неба ZodA, практически не меняются при перемещении полюса эклиптики из оптимальной для него точки в точку, соответствующую области ZodA. Точностные свойства Овна в Альмагесте при этом даже улучшаются. А свойства остальных созвездий – не меняются, оставаясь средними по качеству. Типичным примером является Телец, для которого _init = 23, 2, _min = 18, 1,₁ = 20, 6,p _init = 27, 6%, p _min = p₁ = 41, 4%. Из всех созвездий Альмагеста несколько выделяются Рыбы. Для них и p _min < p _init, и p₁ < p _init при том, что _{init min 1}.

6.3.4 Как влияет компенсация обнаруженной систематической ошибки на точностные свойства окружений именных звезд

Картина с окружениями именных звезд в Альмагесте более разнообразна. Прежде всего отметим окружения АКВИЛЫ и СИРИУСА. В обоих этих случаях компенсация обнаруженной систематической ошибки, характерной для области неба ZodA, приводит к следующему. Во-первых, - к повышению среднеквадратичной широтной невязки. В случае Сириуса - к существенному, с 15, 2 до 25, 9. Во-вторых, к резкому уменьшению доли хорошо измеренных звезд. Для Аквилы – с 40% до 13,3%, а для Сириуса – с 47,4% до 15,8%. Это говорит о том, что групповая ошибка, совершенная составителем при измерении окружений Аквилы и Сириуса, существенно иная, чем систематическая ошибка для области неба ZodA. К сожалению, достоверно определить эти ошибки не представляется возможным. Поэтому СИРИУС И АКВИЛА ИЗ ДАЛЬНЕЙШЕГО РАССМОТРЕНИЯ БЫЛИ ИСКЛЮЧЕНЫ.

Окружения остальных именных звезд в общем обладают теми же свойствами, что и зодиакальные созвездия. А именно, звезды из окружений АНТАРЕСА, АСЕЛЛИ, АРКТУРА, СПИКИ, РЕГУЛА существенно уменьшают среднеквадратичную ошибку, – до значений, близких к минимально возможным, – при компенсации групповой ошибки, равной систематической для области ZodA. При этом и доля p₁ звезд, получивших широтную невязку менее 10, существенно возрастает по сравнению с исходным значением p _init. Окружение КАПЕЛЛЫ обладает свойством, аналогичным полученному для созвездия Овна. А именно, среднеквадратичная широтная невязка в этом окружении мало изменяется при перемещении полюса эклиптики из исходного положения в оптимальное и в положение, вычисленное для части неба ZodA. Зато в последнем из упомянутых положений резко, до 64,3%, возросла доля звезд в окружении Капеллы, "уложившихся"в 10-минутную широтную невязку. Для сравнения отметим, что в исходном положении эта доля составляла 35,7%. А в оптимальном, по среднеквадратичной широтной невязке, – 14,3% ! Звезды из окружения ВЕГИ, напротив, получили заметное уменьшение среднеквадратичной широтной невязки. Но при перемещении полюса эклиптики в положение, характерное для области неба ZodA, произошло существенное уменьшение числа звезд с 10-минутной широтной невязкой. Таким образом, характер групповых ошибок для окружений Веги и Капеллы остается неопределенным. Это и неудивительно. Вспомним, что звезды эти находятся достаточно далеко от части неба ZodA.

6.3.5 Найдена единая систематическая ошибка, совершенная составителем Альмагеста в области ZodA, и для большинства именных звезд

Хотя для большей части рассматриваемых созвездий мы и обнаружили близость характеристик ₁ и p₁ соответственно к _min и p _min, вопрос о "систематичности"ошибки _stat остался открытым. Для его решения поступим следующим образом. Рассмотрим какое-либо созвездие Альмагеста. Ограничимся лишь зодиакальными созвездиями, где лежат, впрочем, и 6 именных звезд. Найдем для этих созвездий характеристики ₂ и p₂, определяемые следующим образом. Первая характеристика – это остаточная среднеквадратичная невязка. Вторая – доля звезд из созвездия, имеющих широтную невязку не более 10. Обе характеристики получаются при статистической ошибке _stat ^ZodA, вычисленной для области ZodA, и оптимальной ошибке ⁽²⁾, находимой из условия минимизации ошибки ₂. Иначе говоря, для созвездия G имеем

Составим табл.6.7, аналогичную табл.6.6. Более того, ряд данных в этих таблицах для наглядности повторяется. В табл.6.6 вместо величин ₁ и p₁ занесены ₂ и p₂. Изобразим эти данные также в виде рис.6.13, аналогичного рис.6.11. Как из таблицы, так и из рисунка видно, что компенсацией систематической ошибки _stat ^ZodA в зодиакальных созвездиях из области неба ZodA и вариацией величины можно достичь минимально возможных значений ₂, весьма близких к _min. Или даже равных _min. При этом и величина p₂ будет близка к p _min, или равна p _min. Интересно, что такая же картина сохраняется и для созвездий из части неба ZodB.

Рис. 6.13:

Зависимости min,2, init,p min,p2,p init для зодиакальных созвездий

Все это убедительно доказывает, что НАЙДЕННАЯ НАМИ ВЕЛИЧИНА _stat ^ZodA ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ЯВЛЯЕТСЯ СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ОШИБКОЙ, СОВЕРШЕННОЙ СОСТАВИТЕЛЕМ КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ ЗВЕЗД ИЗ ОБЛАСТИ НЕБА ZodA, А ТАКЖЕ ИМЕННЫХ ЗВЕЗД. Кроме Сириуса, Аквилы и Канопуса. Величина же _stat ^ZodA может быть результатом усреднения отдельных ошибок измерений, и считать ее систематической ошибкой оснований нет. Кроме того, величина _stat определяется достаточно грубо и в этом плане малоинформативна.

6.4 Выводы

ВЫВОД 1. Статистически подтверждено, что полюса эклиптики звезд из областей неба A и ZodA в Альмагесте лежат в непосредственной близости друг от друга. То есть, систематическая ошибка, совершенная составителем каталога Альмагеста в этих частях неба, одна и та же.

ВЫВОД 2. Проведенный статистический анализ не дает оснований считать, что систематические ошибки каталога Альмагеста в областях неба C,D, М, В,ZodB совпадают с ошибками для областей неба A и ZodA. При этом систематические ошибки в частях неба C,D,M с высокой вероятностью отличаются от ошибок в областях неба A и ZodA. Про ошибки в частях неба B и ZodB в Альмагесте ничего определенного сказать нельзя, так как имеющийся числовой материал не позволяет сделать уверенный статистический вывод.

ВЫВОД 3. Точность измерения звезд из областей неба A и ZodA в Альмагесте существенно выше, чем для других областей неба.

ВЫВОД 4. Среднеквадратичная остаточная широтная невязка в области неба ZodA составляет в Альмагесте 12, 8. При этом около 2/3 всех звезд из этой части неба имеют широтную невязку менее 10. То есть, укладываются по широте в заявленную точность каталога Альмагеста в 10 минут. Соответствующие значения для области неба A равны 16, 5 и 1/2.

ВЫВОД 5. Рассмотрение зодиакальных созвездий и окружений именных звезд в "Алмьагесте"позволяет сделать вывод, что параметр , - ошибка в угле наклона эклиптики, – представляет собой систематическую ошибку. Параметр же может представлять собой усредненное значение групповых или индивидуальных ошибок.

ВЫВОД 6. Групповая ошибка в созвездиях Близнецов, Рака, Льва, Девы, Весов, Скорпиона, Стрельца, Козерога, окружениях Антареса, Аселли, Арктура, Спики, Регула близка в Альмагесте к систематической ошибке _stat ^ZodA, характерной для наиболее точно измеренной части неба ZodA. Или даже совпадает с ней.

ВЫВОД 7. О значении групповых ошибок в Альмагесте в созвездиях Овна и Тельца сказать ничего определенного нельзя. Они могут как совпадать с ошибками в области неба ZodA, так и отличаться от них. Ошибки в окружениях звезд Капеллы и Веги также не могут быть определены.

ВЫВОД 8. Групповые ошибки в Альмагесте в окружениях Сириуса и Аквилы отличаются от ошибки, характерной для части неба ZodA. Но найти эти ошибки невозможно. Групповая ошибка для созвездия Рыб, по всей вероятности, также отличается от _stat ^ZodA.