Сон Эртогрула (или Османа I) о древе по-видимому соответствует сну Астиага о дочери Мандане, сну Гостомысла о дочери Умиле, т. е. Богородице.
И Арлотте, матери Вильгельма Завоевателя (т. е. Ахилла, т. е. отчасти Христа), приснился сон аналогичный Мандане, матери Кира, о том что её внутренности расширились и распространились над всей Нормандией и Англией.

https://books.google.ru/books?pg=PA545&id=QmgvAAAAQAAJ&hl=ru he Wonders of the Little World Or a General History of Man Авторы: Nathaniel Wanley - 1678 - с. 545
Of Dreams, and what hath been revealed to some persons therein.

3. Ertucules having slept after dinner, when he awaked was confounded with the thoughts of what he had seemed to see in his dream; and therefore according to the Religion of the Turkish Nation, he first bathes his body in water to purifie himself, and then goes to Edebales, a person in great reputation amongst them, as well for his wisdom as sanctities and thus he speaks: I dreamed (venerable Sir) that the brightness of the Moon did proceed from your bosome, and thence afterwards did pass into mine: when it was thither come there sprang up a tree from my navel, which overshadowed at once many Nations, Mountains, and Valleys. From the roots of this tree there issued waters sufficient to irrigate Vines and Gardens; and there both my dream and my sleep forsook me. Edebales when he had heard him (after some pause) thus bespake him: There will be born unto you (my good Friend) a Son whose name shall be Osman, he shall wage many Wars, shall acquire to himself Victory and Glory, and your posterity shall be Lords and Kings of many Nations. But my Daughter must marry to your Son Osman, and she is that brightness which you saw come from my bosome into yours, and from both sprang up the tree. A strange prediction, and the more remarkable for that of the Moon, seeing we know that the Crescent is the prime and most remarkable Ensign of the Turkish Nation.

9. Arlotte, the Mother of William the Conquerour, being great with him, had a dream like that of Mandane the Mother of Cyrus, the first Persian Monarch; namely, that her bowels were extended and dilated over all Normandy and England.

https://en.wikipedia.org/wiki/Osman\'s_Dream

Эртогрул первый омыл тело в воде для очищения себя - не о христианском крещении ли речь? Он пришел к святому шейху суфию Эдебали и рассказал, что ему приснилось, что свет луны из груди шейха проник в его грудь, после чего из его пупа выросло дерево, которое затенило большую часть мира. Эдебали объяснил ему, что это предсказание о величии его сына Османа и его потомков, и что Осман должен жениться на дочери шейха Мал Хатун. Не исключено, что свет луны или полная луна, проникшая в грудь Эртогрула - отражение Благовещения Девы Марии (т. е. Мал Хатун?), и древо, вышедшее из его пупа (древо Иессеево?), - отражение рождения Христа. Пишут, что полная луна - символ Мал Хатун, кроме того полумесяц - известная эмблема турок, т. е. мусульман.
На египетском рельефе в сцене Благовещения также присутствует мужчина - муж Марии Иосиф:

ФиН, "Бог войны", с. 287, о древнеегипетском изображении Благовещения на южной стене часовни во дворе Дендерского храма. В отличие от привычных сегодня картин Благовещения, здесь архангел приносит Благую весть не только Богородице, но и ее мужу библейскому Иосифу = египетскому Гору = византийскому Исааку Комнину.

Причем фигура, соответствующая архангелу Гавриилу, держит в руках некий круглый предмет - возможно он соответствует луне и её свету в истории Эртогрула?

https://en.wikipedia.org/wiki/Malhun_Hatun
other names Mal Hatun, Mala Hatun, Kameriye Sultana, daughter of Ömer Abdülaziz Bey
https://ru.wikipedia.org/wiki/Малхун_Хатун
В литературе
Малхун Хатун является центральным персонажем легендарной Османской мечты, повествующей о великой любви Османа к ней и долгой борьбе за её руку и сердце. Однако считается, что поэма была составлена в более позднее время и отражает лишь взгляд на жизнь Османа и Малхун, а не историческую реалию.

Может, их женитьба соответствует женитьбе Гора-Иосифа на Марии-Исиде (см. ФиН "Бог войны")?