>Поищите в грамотах слова "вече" и
>"боярин"Много найдете таких грамот?

Сравните годы правления и имена посадников из списка, приведенного в Википедии с именами посадников, указанных в грамотах и их cтратиграфическими датами:

Новгородские посадники:
1095—1117 Гюрята
1161-1167 Захарий (Захария)
1215-1216 Юрий Иванкович
1323-1324 Варфоломей Юрьевич
1348-1349 Онцифир Лукич
1415-1416 Андрей Иванович
1416-1417 Иван Богданович
1434-1434 Самсон Иванович
https://ru.wikipedia.org/wiki/Список_новгородских_посадников

Грамоты с упоминанием посадников:
Грамота №907 {1100–1120} Письмо к посаднику Гюряте
Грамота №724 {1160-1180} Грамота с упоминанием посадника Захарии
Грамота №222 {1200-1220} Письмо к посаднику Гюргию Иванковичу
Грамота №391 {1280-1300} Письмо посадника Варфоломея Юрьевича
Грамоты №354, №358 {1340-1360} Письмо посадника Онцифора Лукинича
Грамота №310 {1400-1410} Челобитная посаднику Андрею Ивановичу
Грамота №933 {1400-1410} Новгород, Грамота посадника Ивана
Грамота №932 {1400-1410} Грамота с упоминанием посадника Самсона Ивановича
http://gramoty.ru

Могли ли такие же архаичные имена быть у городских глав в 16-17 веках?


>Поса́дник — глава города, «посаженный» (назначенный)
>А как называли глав городов в 16 и 17 веках?

После вхождения в состав Русского государства (с 1478 года), в Новгороде были наместники, а не посадники.