Ветчина здѣсь не въ смыслѣ мясного издѣлія, а какъ общее обозначеніе чего-то стараго, изношеннаго (ср. старый — старина, врагъ — вражина, и т. п.).

Если-же разсматривать слово «ветхій», то его надо сравнивать не съ поздней италіанской формой vecchio, а съ изначальной, «древней» формой.

И что мы видимъ: въ русской Вики дана такая этимологія слова VECCHIO — происходитъ отъ лат. vetus «годовалый; старый», далѣе изъ праиндоевр. *wetus- «годъ».
Англовики: «From Vulgar Latin veclus, from Latin vetulus».

То-есть видно хорошее соотвѣтствiе латинскаго и П.-И.-Е. корней vet и wet (если отбросить окончанiя) славянской неизмѣняемой части «ветъ», которая присутствуетъ во всѣхъ родственныхъ словахъ (если исходить изъ этимологіи Фасмера), причёмъ какъ по написанiю, такъ и по значенiю.

Отсюда и выходитъ связка «ветхій — vecchi(o)»: первая «c» въ vecchi переходитъ въ «t», исходя изъ первокорня, и получается vetchi, то-есть «ветчій» или «ветхій».

Поэтому связь съ «вѣщій» тутъ наврядъ-ли, тѣмъ болѣе, что «вѣщій» отъ слова «вѣдать», что не очень-то вяжется со старостью или ветхостью.
Напротивъ, «старый» (т.-е. vecchio) и «ветхій» какъ-разъ являются синонимами.