>http://www.uk450.ru/rodina/pdf/013_015.pdf
>обратите внимание на иллюстрации один документ 1563, другой
>1583 г., везде Иван Васильевич

Естественно проверяем:

1561:
ELIZABETHA Dei gratia, Angliae, &c. Regina, serenissimo et potentissimo principi, D. Ioanni Basiliuich, Imperatori totius Russia, Magno Duci, &c.
...

1583:
ELIZABETHA, Dei gratia Angliae Franciae, et Hiberniae Regina, fidei defensatrix, &c. Serenissimo Principi ac Domino, Ioanni Basilio, eadem Dei gratia Regi et magno Duci totius Russiae, Volodomerae, Moscouiae, et Nouogrodiae, Regi Cazani et Astracani, Domino Plescoae; et magno Duci Smolenscoae, Tueri, Vgori, Permiae, Viatskae, Bolharae, et aliarum ditionum, Domino et magno Duci Nouogrodiae in inferiori regione, Chernigae, Rezanae, Polotscoae, Rostouae, Iaroslauae, Bealozeri, Liflandiae, Oudori et Condensae, et Gubernatori in tota prouincia Siberiae, et partium Septentrionalium, et aliarum, fratri, et amico suo charissimo, Salutem.
...

1) 1561 вместо 1563, но не суть.
2) В первом письме она обращаются к Ивану Базилевич.
Во втором к некому Ивану Базилио.

Кроме того Basilio стоит в аблативе или дательном, что уже ясно что не имя. Впрочем есть словарь:
basili.o N 2 2 DAT S N
basili.o N 2 2 ABL S N
basilium, basilii N N inscript
crown (on statue of Isis); royal/princely ornament; an eye salve;

Изначально корона Христа(терновый венок?) или орнамент(титул)
Не хило а?

Впрочем что такое Базилевс мы все знаем.

На закуску - как Иван3 оказался дедушкой царя Федора у Флетчера.

This was done by Iuan great grandfather to Theodor now Emperor, about the yere 1480. The same began likewise to encroach vpon
the countries of Lituania and Liuonia, but the conquest only intended, and attempted by him vpon some part of those countries,
http://sailor.gutenberg.org/gutenberg/etext05/7hk0410.txt