argue – спорить, соответственно – argument – довод, возражение, спор, дискуссия.
argue (v.)
c.1300, "to make reasoned statements to prove or refute a proposition," from Old French arguer "maintain an opinion or view; harry, reproach, accuse, blame" (12c.), from Latin argutare "to prattle, prate," frequentative of arguere "make clear, make known, prove, declare, demonstrate," from PIE *argu-yo-, from root *arg- "to shine, be white, bright, clear" (see argent). Meaning "to oppose, dispute" is from late 14c. Related: Argued; arguing.
argument (n.)
early 14c., "statements and reasoning in support of a proposition," from Old French arguement "reasoning, opinion; accusation, charge" (13c.), from Latin argumentum "evidence, ground, support, proof; a logical argument," from arguere "to argue" (see argue). Sense passed through "subject of contention" to "a quarrel," a sense formerly attached to argumentation.
argent (n.)
c.1300, "quicksilver, the metal mercury," from Old French argent (11c.), from Latin argentum "silver, silver work, white money," from PIE *arg-ent- (cf. Avestan erezata-, Old Persian ardata-, Armenian arcat, Old Irish argat, Breton arc'hant "silver"), from root *arg- "to shine; white," thus "the shining or white metal, silver" (cf. Greek argos "white," arguron "silver;" Sanskrit arjuna- "white, shining," rajata- "silver," Hittite harki- "white"). Meaning "silver, silver coin" is early 15c. in English; the adjective sense "silver-colored," late 15c.
Итак, этимологи полагают, что слово «аргумент» (лат. – «argutare» (болтать) - происходит от PIE *arg – сиять, белеть, быть чистым. Ну, и далее мостик к слову «argent» - серебро. Это как же такое в голову могло придти?
Ну, во-первых, в латинском языке явно проглядывает слово «гутарить».
Даль:
ГУТАРИТЬ
вор. тамб. гуторить вологодск. говорить, беседовать, болтать, калякать, разговаривать. С тобой ладно гутарится, гуторится, беседуется. Гутаренье ср. болтовня, каляканье. Гутор м. гуторка ж. говор, беседа, болтовня, разговор. О чем у вас гутор За гутором пчел слова не слышно. У нас такая гуторка, такой говор, произношенье или речь. Сказать тебе гуторку прибаутку или пословицу, поговорку. | Гутора об. гутарка ж. говорун, рассказчик. Гутарливый, гутарчивый, беседливый, разговорчивый, словоохотливый. Ни гугу, ни слова, молчок. Смотри, ты у меня об этом ни гугу, никому не сказывай.
Вероятно, это искаженное слово «говор». У Трусмана – «Гутеровщина д. бр. гутор – говор». Хотя, возможно, связано и с «гуд». У Фасмера:
ГУДОРА
"плакса", терск. (РФВ 44, 90). Связано, вероятно, с гудить "плакать, голосить". Ср. гутора.
ГУТОР
"беседа, болтовня", гуторить, гутарить, гутора, гутарка, укр. гутiр "разговор, беседа", гуторити "болтать". Стар. сложение из *gu- (ср. говор) и к. тараторить, тороторить, лит. tarti, tariu "говорить, произносить"; см. Френкель, "Glotta" 4, 33; аналогично Бернекер (1, 364), но он предполагает производное на -t- от к. говор, ср. ирл. guth "голос", тогда как Преобр. (1, 172) принимает контаминацию говорить и тороторить. •• <Ср. еще Отрембский, LP 1, 1949, стр. 133. – Т.>
Одна из немногих вменяемых статей Фасмера, где он обращает внимание на корни.

Во-вторых, английское слово могло произойти от русского «ругань», без латинского посредничества. РГН – замена «н» - «n» - «u» - RGN – RGU. Кстати, ругань, ругать – это перевернутое «гутор». РГТ – ГТР.