>>>Въ итогѣ получаемъ, что слова МЕХАНИЗМЪ и МАШИНА такъ же близки, какъ и корни «МѢШЪ» и «МАХЪ» (мѣшать и махать), и происходятъ отъ соотвѣтствующихъ даннымъ корнямъ словъ.

Согласен.
В Греческом "МАХ" - богатырь, борец, воин. Наример, Мономах.
Есть какие-то немецкие слова.
В конце концов концы прячут в санскрите:что-то типа mah (точно не помню) вроде сила, мощь.

Думаю, что это пракорень - МОЩь, машина, механизм, мешать и пр. Но в славянском он этимологизируется идеально: от слова МАХать.
Греческое МАХ (богатырь) сюда ложится идеально. Богатырь, тот кто много (быстро, сильно) машет (или руками или мечом).
Есть слово "Махач"=драка

"Мешать" сюда тоже ложится идеально. По смыслу "мешать" это совершать перемещения в пространстве, какой-нибудь удлиненным предметом, например палкой. Очень похоже на "махать рукой"- рука тоже совершает перемещения в пространстве.

Итог:
МАХ- древний праславянский корень. Смысл от "махать" - делать перемещения рукой, палкой и пр.