mane – грива

mane (n.) (староанглийское «manu»); из протогерманского *mano; из from PIE *mon- - шея, загривок, выя
Old English manu "mane," from Proto-Germanic *mano (cognates: Old Norse mön, Old Frisian mana, Middle Dutch mane, Dutch manen, Old High German mana, German Mähne "mane"), from PIE *mon- "neck, nape of the neck" (cognates: Sanskrit manya "nape of the neck," Old English mene "necklace," Latin monile "necklace," Welsh mwng "mane," Old Church Slavonic monisto, Old Irish muin "neck").

1675:
MANE (maene, Belg., man, Dan., mung, C. Br.) грива

1826:
MANE, s. – грива; G. “moen”; Swed. “mahn”; D. “man”; T. “mahne”; B. “maen”; W. “mwng”; I. “mong”

В основе «мох», «мех», «мохнатый», «мягкий», так же «махание». Последнее, скорее всего. МХН – MHN – mahne - mane

Русское «махаю» родственно «мигаю», «миг»; так же «мешаю»; ср. «муха», «махаон» (вид бабочки); вероятно, родственно «мощь, могу»; так же «мщю». Греч. «Титаномахия» - битва титанов (Фасмер считает, что не убедительно, да, вполне может быть, что «μάχη» - от «мощь, могу»). Так же «маять», «мотать», «мыть», «метла», «метель» и пр.

Фасмер:
махать аю, машу́, укр. маха́ти, машíти, блр. маха́ць, цслав. махати, болг. ма́хам "машу, киваю, пряду", сербохорв. ма́хати, ма̑ха̑м (ма̑ше̑м), словен. máhati, máham, чеш. mа́сhаti,слвц. máсhаt᾽, польск. mасhаć, в.- луж. mасhаć, н.- луж. mасhаś. Расширение на – х - от основы маять; ср. лит. móti "махать, кивать"; см. Брюкнер, IF 23, 208; Бернекер 2, 4 и сл.; Педерсен, IF 5, 51. Ср. ехать: лит. jóti, jóju "ехать верхом". Сюда же относится чеш. mávati "помахивать", слвц. mávаt᾽ – то же. Сомнительны сравнения с лит. mosúoti "махать", mostagúoti "размахивать руками", mosterė́ti "махнуть, сделать знак" (Буга, РФВ 65, 319; Лескин, IF 19, 209), греч. μαίομαι, буд. μάσσομαι "стремлюсь", μάστιξ "плеть" (Прельвиц, ВВ 26, 306); см. Траутман, ВSW 166. Неубедительно сопоставление с греч. μάχομαι "сражаюсь", μάχη "борьба" (Петерссон, AfslPh 35, 362 и сл.; Леви, ZfslPh 1, 416), которые, скорее, содержат и.- е. палатальный; ср. μάζακις ̇δόρυ παρθικόν (Гесихий), которое, по мнению Лагеркранца (Хеniа Lidéniana 273), из ир. Не связано также с мять, вопреки Иоклю (AfslPh 28, 5 и сл.; 29, 22). Отсюда махаться (напр. веером); см. Бернекер, там же, а также в знач. "ухаживать", которое Мельников (2, 266) пытался истолковать как кальку из франц. s᾽évеntеr.

Титан, кстати, не тятя? Т.е. «батя». Породили же новых богов.
Титаны (др.-греч. Τιτᾶνες, ед. ч. Τιτάν) — в древнегреческой мифологии<1> боги второго поколения, дети Урана (неба) и Геи (земли). Их шесть братьев и шесть сестёр-титанид, вступивших в брак между собой и породивших новое поколение богов: Прометея, Гелиоса, Муз, Лето и других. Этимологии данное слово не имеет. Существует предположение, что это слово попало в греческий из какого-то малоазиатского источника. Гесиодом была изложена версия, согласно которой, это слово произошло от глагола др.-греч. τιταίνω — «натягиваю, простираю», однако это всего лишь народная этимология

Греч. – τιταίνω, просто «оттяну».