may – возможность, разрешение (от «might»); maybe – может быть, возможно; калька с «мог бы»

may (v.1) (староанглийское «mæg» - мочь, могу); из протогерманского корня *mag-, из PIE *magh- (1) – мочь, иметь силу.
Old English mæg "am able" (infinitive magan, past tense meahte, mihte), from Proto-Germanic root *mag-, infinitive *maganan (Old Frisian mei/muga/machte "have power, may;" Old Saxon mag/mugan/mahte; Middle Dutch mach/moghen/mohte; Dutch mag/mogen/mocht; Old High German mag/magan/mahta; German mag/mögen/mochte; Old Norse ma/mega/matte; Gothic mag/magan/mahte "to be able"), from PIE *magh- (1) "to be able, have power" (cognates: Greek mekhos, makhos "means, instrument," Old Church Slavonic mogo "to be able," mosti "power, force," Sanskrit mahan "great"). Also used in Old English as a "auxiliary of prediction."

Переход «г» -«g» - «у».