Есть немецкое Muller - мельник.

Очевидно, что корень "МОЛ" восходит к глубокой языковой древности.
Предполагаю, что праоснова МОУЛ или даже МОУ (об этом в конце).
На примере корня "ПРОУД" наблюдается, что ОУ распадается на О, У, А, а также видимо стабильно на Е, Ы, Я.

Что мы имеем в нашем случае: МЫЛить(МЫЛо), МЕЛкий.

Как может "мылить" связано с "молоть"?
Во-первых очевидна связь "МЫЛить" и "МЫТь".
Мылить это растирать белье чем-нибудь, например, в древности, возможно просто песком.
Песок сам по себе МЕЛкий, да и процесс растирания (МЫТья) по форме похож на процес МЯТия (мять).

Т.е. можно предложить выйти на пракорень МОУ, откуда и выросли: МОЛ (МЫЛо), МЯТ, МЫТЬ и т.д.

В этой связи мне очень интересен фонетический или какой-другой механизм возникновения "К" в слове "МУКа".

P.S. Есть слово МОТОР. Не помню как западники выводят, типа колебания, монотонные движения.
Ну так этому родственник наше "МОТать".
Ну а "мотать" по однородности, монотонности колебаний идеально ложится на "МЫТь", если вспомнить женщин полоскающих белье в речке.