band – 1. тесьма, лента, повязка. 2. банда, шайка. 3. оркестр, ансамбль (музыкальный)
band (n.1) (полоса, лента; то, что завязывается, перевязывается, стягивается)
"a flat strip," also "something that binds," a merger of two words, ultimately from the same source. In the sense "that by which someone or something is bound," it is attested from early 12c., from Old Norse band "thin strip that ties or constrains," from Proto-Germanic *bindan, from PIE *bendh- "to bind" (cf. Gothic bandi "that which binds; Sanskrit bandhah "a tying, bandage," source of bandana; Middle Irish bainna "bracelet;" see bend (v.), bind (v.)). Most of the figurative senses of this word have passed into bond (n.), which originally was a phonetic variant of this band.

bend (v.) (сгибать, гнуть, поворачивать)
Old English bendan "to bend a bow; confine with a string, fetter," causative of bindan "to bind," from Proto-Germanic base *band- "string, band" (cf. Old Norse benda "to join, strain, strive, bend"), from PIE root *bhendh- "to bind" (cf. Gothic bindan, Old High German bintan, Sanskrit badhnati "binds," Lithuanian bendras "partner;" Old Persian bandaka- "subject").

bind (v.) (вязать, связывать, завязывать, привязывать)
Old English bindan "to tie up with bonds" (literally and figuratively), also "to make captive; to cover with dressings and bandages" (class III strong verb; past tense band, past participle bunden), from Proto-Germanic *bindan (cf. Old Saxon bindan, Old Norse and Old Frisian binda, Old High German binten "to bind," German binden, Gothic bindan), from PIE root *bhendh- "to bind" (see bend). Intransitive sense of "stick together" is from 1670s. Of books, from c.1400.

bind (n.) (то, что завязано, бинт)
"anything that binds," in various senses, late Old English, from bind (v.). Meaning "tight or awkward situation" is from 1851.
Харпер полагает, что в основе всех этих слов лежит PIE корень *bhendh- вязать, связывать, завязывать и пр.
Это же есть и в немецком языке:
Клюге:
BINDEN, vb. “to tie, bind”(стягивать, завязывать) from MidHG. “binden”, OHG. “bintan”, corresp. to OSax. and AS. “bindan”, E. “to bind”, Goth. “bindan”; the meaning does not change, hence it was the same in primit… The pre-Teut. form of the root must have been “bhendh”; comp. the corresp. Sans. root “bandh”, “to chain, fasten”; Lat. (with “f” for “bh” initially) “offendimentum” – “bond, cable”; Gr. “πείσμα” for “πένθσμα” – “bond”, also “πενθερός”, “father-in-law”, as Sans. “bandhu”, “a relative”.

В словаре 1675 слова в этом значении (полоса, лента) нет. Что интересно, в 1826 это слово тоже отсутствует, точнее, там смешаны два понятия. «Группа людей, связанная некими обязательствами» и «связка». Так что разговоры про двенадцатый век – неактуальны. Хотя и понятно, что смысл «стягивать, объединять» от этого не меняется. По крайней мере в европейских языках.

1) На мой взгляд, в словах «bind», «bend» - коренная основа – «вить», «веять», «обвивать». Это, как со словом «wind». Единственно что, здесь произошла замена «b» - «v».

Старчевский – вѣѧти, вѣю – дуть, веять, шляться, блуждать; вѣть (ветка)
Вити, виѭ, виѥши – свивать, крутить; витисѩ – виться; витиѥ – витие.
Дьяченко – витисѩ – опахало, веер.

А далее – винт и пр.

Фасмер:
ВИНТ
I I. "шуруп, металлический стержень с нарезкой", народн. хвинт, севск., из польск. gwint – то же, из нем. Gewinde "нарезка, резьба"; см. Маценауэр, 369; Преобр. 1, 85; Mi. EW 391. II II. "игра в карты". Из нем. Gewinde; см. винт I; Ушаков 1, 295 и сл.
Обратите внимание на немецкое слово.
То же самое – «бинт»
Фасмер:
БИНТ
из нем. Binde "бинт, повязка"; см. Преобр. 1, 26.
Предполагаю, что «bind» в английский язык занесло из немецкого, причем относительно недавно.
Бант:
БАНТ
впервые в 1708 г. у Петра I; см. Христиани 49, но также банта – то же; см. Смирнов 55. Согласно Христиани (там же), через польск. bant из нем. Band.

У Дьяченко: Бендъ или бендь (перс. также «бенд» от «бестен», связывать) вообще = связь. В наших описях бендями назывались плащи в округленных углах налучи и колчана; к этим плащам прикреплялся или привязывался пояс саадачный. Бенди были украшаемы драгоценными камнями: «в налуче бенд, а в ней в гнезде в золоте камень алмаз граненой, да изумруд граненой в гнезде ж золотом, двадцать сем яхонтов червчатых». (Савваитов).

У Старчевского «бенд» - плащ.

2) Теперь «band» в значении «группа людей». В современном английском языке этот термин практически утратил свое значение. Осталось только «band», как музыкальный коллектив и, с некоторыми оговорками «банда, шайка». Американизм – «gang».
1675:
BAND (band, Sax., bande, F.) any sort of Stuff to bind with; a company of Foot Soldiers – любое объединение, связанное ч-л., подразделение пехоты.

1826:
BAND, s. a tie, a facia, restriction, obligation, association, point of union, a banner, brigade – связывать, собирать вместе, в пучок; ограничение, соглашение, объединение, точка соединения, стяг, знамя, артель. G. “baund”, “band”; P., Sans., T., Swed., S. “band”; D., F., B. “bande”; It., Sp., Port. “banda”.

Вот здесь, как мне кажеться, другая этимология – «единый», «объединять».
Фасмер:
единый заимств. из цслав., ср. ст. - славъдинъ, - а, - о εἷς, μία, ἕν, вместо русск. один (см.).

единый Заимств. из ст.-сл. яз., где оно является местоименной формой общеслав. *jedinъ, сложения ограничительной частицы jedъ (см. едва) и числит. inъ «один» (см. иной). Единый буквально — «один-единственный». Школьный этимологический словарь русского языка. Происхождение слов. — М.: Дрофа Н. М. Шанский, Т. А. Боброва 2004

Даль:
ОБЪЕДИНЯТЬ
объединить что, соединять, приводить в единство, в одно, в общность, согласовать, обобщать, однообразить; противопол. разъединять, разобщать, рознить. Смешение народов объединяет обычаи и нравы. - ся, страдат. и возвр. Объединенье, действ. по глаг.

Фасмер:
один одна́, одно́, укр. один, одна, одно́, блр. одзíн, др.-русск. одинъ, одина, ст.-слав. ѥдинъ, ѥдина, ѥдино, но также ѥдьнъ, ѥдьна, ѥдьного и т. д. (часто в Супр., Ляпунов 167 и сл.; Дильс, Aksl. Gr. 94), болг. един, една́, едно́, сербохорв. jѐдан, jѐдна, словен. édǝn, éna, éno, чеш., слвц. jeden, jedna, jedno, польск. jeden, jedna, jedyny "единственный", в.-луж. jedyn, jеnа, н.-луж. jaden, jаnа. Форма единый заимств. из цслав. Праслав. *edinъ, *edina; сокращение i в ь едва ли является праслав. процессом, но скорее имело место в отдельных языках; см. Ягич, AfslPh 22, 261; Брюкнер, AfslPh 29, 119; KZ 46, 204. Вероятно, сложение из *еd- и inъ; ср. едва́, лат. ессе "вон, се", ecquis "кто-нибудь?", умбр. еřеk, erse – то же. От и.-е. основы местоименного е-; см. Бругман, Grdr. 2, 2, 326 и сл.; IF 23, 310 и сл.; Бернекер 1, 262; Миккола, Ursl. Gr. 3, 56; Вальде–Гофм. 1, 390 и сл. Менее правдоподобно сближение со ст.-слав. еда "разве, ли", др.-инд. уаdā́ "если" (Брюкнер 204). Следует, далее, отклонить сравнение с др.-инд. ādíṣ "начало", вопреки Уленбеку (Aind. Wb. 21), Ван-Вейку (IF 30, 384 и сл.); см. против этого Лиден, Тосhаr. Stud. 7; Гуйер, "Slavia", 2, 560. Вторая часть заключает в себе *inъ (см. иной), связанное чередованием с арм. энкл. -in "тот же самый", др.-лат. оinоs "ūnus", греч. οἴνη "одно очко", ирл. óin, оеn "один", гот. ains "один": см. Бернекер, там же; Педерсен, Kelt. Gr. 1, 57; Мейе, Ét. 159; МSL 14, 348. Отсюда же одине́ц "одиноко, отдельно живущий от стада старый кабан", укр. одине́ць – то же, польск. оdуniес "кабан, вепрь" (Потебня, РФВ, I, 77), а не калька из греч. μονιός "живущий в одиночку (о диких зверях)".

Старчевский:
ѤДИНИТИ, ѤДИНЮ – приводить в единство, соединять, совокуплять.

ѤДИНИТИ – ДНТ – замена «д» - «b» (зеркало) и «т» - «d». DNT – BND – BAND.

Маленькое отступление. Вполне может оказаться, что слово «банда» не попадает в этот ряд.
1675:
BANDIT’TI (Bandit, F., Bando, Ital. an Edict, of “bandire” to out-law) out-lawed Persons in Italy. То есть это люди «вне закона». То есть «виноватые, обвиненные». ВИНОВАТ – ВНВТ - замены «в» - «b», «в» - «d». BNDT – BANDIT. Обратите внимание на добавку к слову ‘TI. Возможно, это «те». Те виноватые. См. «ban».