influence – влиять, влияние; influenza – простуда, грипп

influence (n.) (астрологический термин – «текучая энергия эфира, происходящая от звезд и влияющая на характер и судьбу человека); из староанглийского «influence» с тем же значением, так же течение воды; из среднелатинского «influentia» - плыть; из латинского «influentem» (именительный падеж «influens»), причастие настоящего времени от «influere» - вплывать; из «in-» - в + «fluere» - плыть
late 14c., an astrological term, "streaming ethereal power from the stars acting upon character or destiny of men," from Old French influence "emanation from the stars that acts upon one's character and destiny" (13c.), also "a flow of water," from Medieval Latin influentia "a flowing in" (also used in the astrological sense), from Latin influentem (nominative influens), present participle of influere "to flow into," from in- "into, in, on, upon" (see in- (2)) + fluere "to flow" (see fluent). Meaning "exercise of personal power by human beings" is from mid-15c.; meaning "exertion of unseen influence by persons" is from 1580s (a sense already in Medieval Latin, for instance Aquinas). Under the influence "drunk" first attested 1866.

fluent (adj.) (текущий, гладкий, плавный (о речи и о воде); из латинского «fluentem» (именительный падеж «fluens») – вялый, расслабленный; образно «текущий, плывущий»; причастие настоящего времени от «fluere» - плыть, течь, бежать, смягчаться, таять; из PIE *bhleugw-, расширенная форма от *bhleu- разбухать, набухать, наполняться, переполнять; расширение от корня *bhel- надуваться, разбухать
1580s, "flowing freely" (of water, also of speech), from Latin fluentem (nominative fluens) "lax, relaxed," figuratively "flowing, fluent," present participle of fluere "to flow, stream, run, melt," from PIE *bhleugw-, extended form of *bhleu- "to swell, well up, overflow" (cognates: Latin flumen "river;" Greek phluein "to boil over, bubble up," phlein "to abound"), an extension of root *bhel- (2) "to blow, inflate, swell;" see bole. Used interchangeably with fluid in Elizabethan times. Related: Fluently.

influenza (n.) (из итальянского «influenza» - простуда, грипп, эпидемия); образно – «влияние звезд»
1743, borrowed during an outbreak of the disease in Europe, from Italian influenza "influenza, epidemic," originally "visitation, influence (of the stars)," from Medieval Latin influentia (see influence). Used in Italian for diseases since at least 1504 (as in influenza di febbre scarlattina "scarlet fever") on notion of astral or occult influence. The 1743 outbreak began in Italy. Often applied since mid-19c. to severe colds.

В корне неправильно производить это слова от некоего корня*bhel, который, по видимому, должен изображать слово «большой» или «более».

Здесь русское слово «плыть» с заменой «п» - «ph» - «f» и «en» - юсом. ПЛТ – PLT – FL (N) T – FLNT – fluens.
В нашем случае «в» + «плыть», т.е. «вплыть». Так же «плыл» («л» - «r») – fluere.
Вероятно «расплылся», в смысле «раздался в размере», пятно расплылось по скатерти.

См. «fool», «flutter», «fly», «float», «flush», «fleet», «flood».