complete – полный; completely – совершенно, полностью.

complete (adj.) (из старофранцузского «complet» - полный, заполненный); или напрямую из латинского «completes», причастия прошедшего времени от «complere» - заполнять, пополнять состав (легиона и пр.), наполнять, решить задачу; из «com-» + «plere» - заполнять
late 14c., from Old French complet "full," or directly from Latin completus, past participle of complere "to fill up, complete the number of (a legion, etc.)," transferred to "to fill, to fulfill, to finish (a task)," from com-, intensive prefix (see com-), + plere "to fill" (see pleio-).

По всей вероятности, это и есть слово «заполню», «заполнять», в смысле «наполнять». Сосуд, места г-л. и пр.

Вопрос в том, куда делась «н»?
Вот она:
1675:
COMPLEMENT (Complementum, L.) a filling up, or perfecting that which is wanting. Заполнение, усовершенствование желаемого. Дополнение, комплект.

Так же:
COMPLETION, an accomplishing, fulfilling, a Performance. Завершение, окончание; достижения, выполнения, выполнять, исполнять; исполнение.
Да, а как быть со словом «комплимент»?

Комплимент Словарь иностранных слов
(фр. compliment, от др.-фр. и пров. complir - исполнять) лестное выражение, тонкая, похвала, любезность в выражениях.
(Источник: "Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка". Чудинов А.Н., 1910)
легкая лесть, любезность.
(Источник: "Полный словарь иностранных слов, вошедших в употребление в русском языке". Попов М., 1907)
любезность, близкая к лести.
(Источник: "Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка". Павленков Ф., 1907)
франц. compliment, от древн.-франц. и пров. complir, исполнять. Лестное выражение; тонкая похвал...

Комплимент Толковый словарь Кузнецова
комплимент
КОМПЛИМЕНТ - а; м. <франц. compliment от лат. cumplir - завершать, заканчивать> Лестное суждение о ком-л., любезный отзыв. Отпускать комплименты. Обменяться комплиментами. Сомнительный к. в адрес кого-л. Рассыпаться в комплиментах (сказать много лестного).
Большой толковый словарь русского языка. - 1-е изд-е: СПб.: Норинт С. А. Кузнецов. 1998

Т.е. фактически благодарность за заполнение или исполнение, «com» может быть как «за», так и «из».

Комплимент Этимологический словарь Крылова
Комплимент
Заимствование из французского, где compliment ("комплимент") образовано от complimenter – "приветствовать".

Комплимент Этимологический словарь русского языка
комплимент Заимств. в Петровскую эпоху из франц. яз., где compliment «комплимент» < «приветствие» — из исп. cumplimiento — тж. < «исполнение» (того, что желаете, ср. всего хорошего), суф. производного от cumplir «исполнять, совершать». Школьный этимологический словарь русского языка. Происхождение слов. — М.: Дрофа Н. М. Шанский, Т. А. Боброва 2004

Получается, что для сочинителей языков русский был не родной. Вряд ли человек владеющий русским хорошо перепутает «заполнить» и «исполнить». И слово совсем новое, я имею в виду «комплимент», как похвала, лесть.

А вот что пишут французы (Брашет):
Complet, adj. complete; from L. completus. Complete is a doublet of complies, q. v.—Der. completer.

И ничего про приветствие. А словарь, меж тем – 1873 года. Странное дело получается, французы ничего не знают о слове комплимент в значении «лесть». А меж тем это слово Фасмер считает заимствованным в Петровскую эпоху. Странно это.
Complement, sm. complement, fulness ;from L. complementum.—Der. complementi'ne. Полнота, целостность.