rhyme – рифма, ритм, стихи; рифмовать

rhyme (n.) (из среднеанглийского «ryme, rime» - размер, ритм, рифмованные стихи; из старофранцузского «rime», родственно старопровансальскому «rim, *ritme»; из латинского «rithmus»; из греческого «ῥυθμός» - равномерное движение, время, пропорции
"agreement in terminal sounds," 1560s, partially restored spelling, from Middle English ryme, rime (c. 1200) "measure, meter, rhythm," later "rhymed verse" (mid-13c.), from Old French rime (fem.), related to Old Provençal rim (masc.), earlier *ritme, from Latin rithmus, from Greek rhythmos "measured motion, time, proportion" (see rhythm).

rhythm (n.) (рифмованные стихи, равномерное движение); из латинского «rhythmus» - своевременное движение; из греческого «ῥυθμός»- такт, ритм, стройность, пропорциональность, форма, образ, вид, фигура; родственно «ῥέω» - течь, стремиться, устремляться; из PIE корня *sreu- течь
1550s, "rhymed verse, metrical movement," from Latin rhythmus "movement in time," from Greek rhythmos "measured flow or movement, rhythm; proportion, symmetry; arrangement, order; form, shape, wise, manner; soul, disposition," related to rhein "to flow," from PIE root *sreu- "to flow" (see rheum).

rheum (n.) (насморк); из старофранцузского «reume» - простуда; из латинского «rheuma»; из греческого «ῥεῦμα» - течение, поток, флюс, ревматизм, дословно – то, что течет; из «ῥεῦνα» - течь; из PIE корня *sreu- течь
"mucous discharge," late 14c., from Old French reume "a cold" (13c., Modern French rhume), from Latin rheuma, from Greek rheuma "discharge from the body, flux; a stream, current, flood, a flowing," literally "that which flows," from rhein "to flow," from PIE root *sreu- "to flow" (cognates: Sanskrit sravati "flows," srotah "stream;" Avestan thraotah- "stream, river," Old Persian rauta "river;" Greek rheos "a flowing, stream," rhythmos "rhythm," rhytos "fluid, liquid;" Old Irish sruaim, Irish sruth "stream, river;" Welsh ffrwd "stream;" Old Norse straumr, Old English stream, Old High German strom (second element in maelstrom); Lettish strauma "stream, river;" Lithuanian sraveti "to trickle, ooze;" Old Church Slavonic struja "river," o-strovu "island," literally "that which is surrounded by a river;" Polish strumień "brook").

По всей вероятности, здесь существует некая путаница.
1) Для «ῥεῦμα» Вейсман указывает форму «ρέω» (Н.З. ρεύσω) из корня ρυ. Что сильно напоминает слово «ручей», ср. с гр. ρήσις (кор. ρε, ср. ρήμα) – речь, изречение, слово, сентенция. Но, ведь ручей является формой слова «река», которая писалась и как Rha; ρέος = ρέω = ῥεῦμα; Ρήνος – Рейн.

Все это возвращает нас к тому соображению, что «река» производное от «лью» (лейка), ср. ρέω и рею (рѣѭ) – плавно лечу, парю; далее, у Даля форма – «ринуть»; плавно стремиться, быстро нестись или течь, лететь, падать. Вешние ручьи реют с гор.
Остальные формы – более поздние: низрину, роняю, стремлю, струя, стремнина, «stream» - течение и пр.

2) Связка «реять» - «лить» (рею-лью) и породило греческое ῥυθμός, т.е. рѣѩти или лить в юсовой форме, при замене «т» - «θ». РТ – РΘ (Μ или Ν).
Другими словами:
- при насморке льет из носа – лью (или рѣѭ) - ρέω - ῥεῦμα – rheuma – rheum
- вода течет плавно, облака и птицы летят плавно, - лить (рѣѩти) - ῥυθμός – rhythmos – rhythm - rhitmus – rhyme – rime (rim)