БЫТ, БЫТЬ, БУДЬ, БУДУ {15}
< пс YDg (м4, м7)
ДРС: БЫТИЁ, СОБЫТИЕ, СБЫТЬСЯ, СБЫТ, УБЫТИЕ, БЫТОВУХА, ОПЫТ, …

Слово:быт,
Ближайшая этимология: укр. бит, сербохорв. би?так "суть, существо", словен. bi?tЌk "существование", чеш. byt "существо, существование, пребывание", польск. byt "состояние, бытие".
Дальнейшая этимология: От быть. Ср. лит. bіta ср. р. <напр., jo~ tenai~ bіta "он там был". -- Т.>, др.-прусск. buttan "дом", др.-инд. bhіtas "сущий, ставший, бывший", bhіtam ср. р. "сущность, факт", авест. bіtа-"ставший, сущий", греч. futТn "растение", ирл. both "хижина", др.-исл. bu? ж. "жилье"; см. Бернекер 1, 114; Траутман, BSW 41.

Слово:быть,
Ближайшая этимология: укр. бути, ст.-слав. быти, сербохорв. би?ти, словен. biti, . чеш. byti, польск. byc, в.-луж. byc, н.-луж. bys.
Дальнейшая этимология: Родственно лит. bіti "быть", др.-инд. bhіtis•, bhіtis•, "бытие, хорошее состояние, преуспевание", ирл. buith "бытие", далее, др.-инд. bhavati "есть, имеется, происходит", греч. fЪomai "становлюсь", лат. fui "я был", futіrus "будущий", гот. bauan "жить", д.-в.-н. buan; см. Бернекер 1, 114 и сл.; М. -- Э. 1, 359 и сл.

Моё мнение. Слова напрямую вырастают из первого пракорня. Относительно связки «быть-будь-буду» моя версия, что появились они практически независимо, а не являются исходно формой одного глагола. Косвенный аргумент в пользу этой версии (а заодно и глубокой древности слов) – супплетив «я был/буду, но – я есть».