ДЫХАНИЕ {1}
дыхание, ....
< пс DgY (м4)
ДРС: ДЫШАТЬ, ВЗДОХ, ВЫДОХ, ОТДЫХ, ДОХЛЫЙ, БЕЗДЫХАННЫЙ, ...
СВЯЗИ: ДУХ

Слово: дышать,
Ближайшая этимология: дышу, ст.-слав. дыхати и т. д.
Дальнейшая этимология: Родственно лит. dіse†ti, dіsiu° "пыхтеть", duse†ti "покашливать", лтш. duse^t "пыхтеть, дышать, дремать, отдыхать", др.-исл. dusa "держаться спокойно", ср.-нж.-нем. dіsen "дремать"; см. М. -- Э. 1, 521; Бернекер 1, 249; Хольтхаузен, Awn. Wb. 42. Подробнее см. дух, душа, дохнуть.

Моё мнение. Что там было первичней ДУХ, ДОХ или ДЫХ трудно сказать. Мне представляется, что это было одно слово. Вероятно, первое озвучивание понятий «жизнь-смерть». Естественным признаком для констатации смерти животного/человека было отсутствие дыхания. А тут ещё и явное звукоподражание.