ЩАДИ {3}
< пс ADg
ДРС: ПОЩАДА, ...

Слово:Щадить,
Ближайшая этимология: Щажу, Пощада, Щадный "щадящий, сострадательный", укр. Щадити, Щадний "бережный", блр. Щадзицьца "скупиться", др.-русск. ЩадKти, Щажу "щадить, беречь", ст.-слав. шт„дkти, шт„жд† Fe…desqai, K»desqai (Супр.), болг. Щядя "щажу, берегу, проявляю осторожность по отношению к к.-л.", сербохорв. штедjети, штеди? м "беречь", словен. «‰e•de•ti, - dim -- то же, чеш. диал. аdаt' sе "скупиться", польск. szcze§dzic "беречь, щадить", oszcze§dzac "экономить".
Дальнейшая этимология: Праслав. *«‰e§diti из *ske§d-, которое связано чередованием гласных со *sko§d - (см. Скудный), ст.-слав. ск†дъ, ск†дЮнъ ™nde»j (Супр.), родственно авест. s‰indayeiti "ломает", skЌnda - м. "разлом, недуг"; см. Мейе, МSL 14, 340; Брандт, РФВ 24, 173 и сл.; Преобр. II, 314; Труды I, 113 и сл. Однако едва ли родственно слову Щедрый, вопреки Миклошичу (Мi. ЕW 298 и сл.) и Преобр. (там же); см. Брандт, там же. Комментарии Трубачева: <Махек (ZfcPh, 28, 1960, стр. 69) относит сюда же др.-ирл. сеss - "щадить, смиловаться". -- Т.> Страницы: 4,495-496

Моё мнение. Солидарен с Миклошичем – это слово родственно слову «щедрый» или, как минимум образовано по той же логике и примерно в одно время. Источником, вероятней всего, является протослово АД (опасность), отсюда смыслы «сострАДать», «проявлять осторожность». Значение «беречь» хорошо перекликается как непосредственно с защитой от опасности, так и с версией «накопления»:
http://chronologia.org/cgi-bin/dcforum/dcboard.cgi?az=show_thread&om=22&forum=DCForumID18&omm=256&viewmode=threaded

Был ли возможен звук Щ в праязыке? Звук, который, например, полякам сейчас приходится изображать аж четыремя буквами szcz? Да вполне! Произношение его существенно проще, нежели самого «первого пракорня» Д/Т, о котором я постоянно говорю, и который, несомненно, звучал в то далёкое прошлое совсем иначе, нежели сейчас. А вот относительно Щ я согласен с автором, который пишет следующее:
«Имеется возражение против признания теорией сложного строения звука, означаемого буквой Щ. В результате этот звук исключён из состава фонем! Его принимают либо за сочетание звуков ШЧ, либо СЧ, что противоречит действительности. Любой членораздельный звук только в том случае может быть признан за фонему, если он производится одним и только одним набором артикуляционных жестов. ШЧ и СЧ таким свойством не облаладают. Да и в жизни всё не так! Каждый может произносить звук Щ настолько долго, насколько у него хватит терпения или духу, причём и артикуляция и звучание Щ при этом не изменяется. Значит этот звук следует признать фонемой или, по крайней мере, аллофоном звука Ш.»
От себя хочу добавить – просто произнесите Щ-Щ-Щ-Щ и убедитесь, что никакой особой развитости артикуляторного аппарата этот звук не требует. Почему он не заслужил особой буквы в «европейских» алфавитах? Это вопрос отдельный...