ЮЛИТЬ

Значение:

1. разг. вертеться, крутиться, суетиться
2. перен., разг. лебезить, заискивать перед кем-либо
3. перен., разг. изворачиваться, увиливать, ловчить

Этимология :

"Происходит от сущ. юла, из стар. *вьюла от вить (предположительно), сюда же относят др.-русск. собств. Юла (1495 г.). Использованы данные словаря М. Фасмера; "

http://ru.wiktionary.org/wiki/юлить

ЮЛА

Значение:

1. разг. вертлявый, непоседливый человек
2. детская игрушка, которая, в общем случае, во время вращения сохраняет устойчивость на одной точке опоры; волчок
3. вид волчка, используемого в азартной игре, с гранями по ребру, на которых обозначено: «выигрыш» и «проигрыш»
4. зоол. небольшая певчая птица отряда воробьиных семейства жаворонковых, обитающая в лесах; лесной жаворонок

Этимология:
"Происходит от стар. *вьюла от вить (предположительно), сюда же относят др.-русск. собств. Юла (1495 г.). Использованы данные словаря М. Фасмера;"

http://ru.wiktionary.org/wiki/юла

ВИТЬ
(Слово ВИТЬ уже присутствует в разделе "БАЗОВАЯ ЛЕКСИКА":
http://chronologia.org/cgi-bin/dcforum/dcboard.cgi?az=show_thread&om=22&forum=DCForumID18&omm=306&viewmode=threaded )

Значение:
изготовлять, скручивая или сплетая что-то, переплетать

Этимология:

"Происходит от праслав. формы *vī́tī (*vь̀jǭ; *vītь), от которой в числе прочего произошли: русск. вить, укр. ви́ти, болг. ви́я, сербохорв. ви̏ти, ви̏jе̑м, словенск. víti, чешск. vít, viji, польск. wić, в.-луж. wić, н.-луж. wiś. Из праиндоевр. *wei- «вить»; ср.: балт. *wī̂-, лит. výti «вить», латышск. vît; др.-инд. váyati «плетёт, ткёт», vītás «витой», vyáyati «вьёт, крутит», лат. vieo, viēre «плести», готск. waddjus «вал», англ. withy."

http://ru.wiktionary.org/wiki/вить

Комментарий:
Родство слов ЮЛА (ЮЛИТЬ) и ВИТЬ выявлено верно. Однако, представляется, слово ЮЛА первично и возникло непосредственно из звука "У" (" Uv"). А слово ВИТЬ - производное "первого круга" от ЮЛА (ЮЛИТЬ)