ЛИГА
ж. франц. соединение, слитие, союз, заговор; (Даль)

БиЕ: Лига - В настоящее время этот термин употребляется в Англии и Франции для означения особенно значительных обществ или ассоциаций, преследующих какие-либо социальные или политические цели.
http://www.slovopedia.com/10/203/979231.html

Крылов:
ЛИГА - Заимствование из французского, где ligue восходит к итальянскому liga от глагола ligare – "связывать"; буквально – "связанное, объединенное".

league (n.1)
"alliance," mid-15c., ligg, from Middle French ligue "confederacy, league" (15c.), from Italian lega, from legare "to tie, to bind," from Latin ligare "to bind" (see ligament).
У британцев тоже самое – от «ligare» - связывать.

LEGIO – легион, скопление солдат (1826)
LEGO – собирать вместе, отбирать (cull). Сюда же – colligo.
LEGIS – закон – Vossius, who refers it to “lego”, because laws read to the people, when they were being passed. Я бы добавил, что когда читают закон или сообщение, люди собираются вместе.
http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433075918643;view=1up;seq=235;q1=tellus;start=1;size=10;page=search;num=223

Что объединяет эти слова? То, что это некое собрание, если хотите – круг единомышленников, круг общения и пр.
Собственно, в основе наше «КОЛО» - круг, при обратном прочтении и замене «К» - «С» - «G» - КЛ – LG.