>Я так полагаю, что «шахматы» вышли из «шашек».

Я тоже так считаю. По принципу "от простого к сложному".

И часто встречал, что в старину путаются, какая игра имелась ввиду: шашки или шахматы.

В связи с этим кроме "шажков" (отличная версия) еще такое наблюдение:
шахматы по-итальянски (внимание!): scacchi
Один-в-один: СКАЧКИ. И действительно некие скачки фигурами, например в шашках, когда рубят шашку.