fat – толстый, жирный; жир.

fat (adj.) (староанглийское «fætt» - жир, жирный); из причастия прошедшего времени «fættian» - впихивать («cram» - это русское «корм»), запихивать; из протогерманского *faitaz – жир; из PIE *poid- изобилие в воде, молоке, жире; из корня *peie- быть толстым, набухшим.
Old English fætt "fat, fatted, plump, obese," originally a contracted past participle of fættian "to cram, stuff," from Proto-Germanic *faitaz "fat" (cognates: Old Frisian fatt, Old Norse feitr, Dutch vet, German feist), from PIE *poid- "to abound in water, milk, fat, etc." (source also of Greek piduein "to gush forth"), from root *peie- "to be fat, swell" (cognates: Sanskrit payate "swells, exuberates," pituh "juice, sap, resin;" Lithuanian pienas "milk;" Greek pion "fat, wealthy;" Latin pinguis "fat").

Почти все правильно, кроме высосанного из пальца корня *peie-. По мнению авторов, слово «пою» (т.е. даю воду) – это «быть толстым»?

На самом деле – это «поить» (пить), «питаю». Собственно, сало действительно питательный продукт.

Лат. «pinguis» к этому ряду отношение не имеет.