flat – плоский

flat (adj.) (из старонорвежского «flatr»); из протогерманского *flataz; возможно из PIE *plat- расширять
early 14c., from Old Norse flatr, from Proto-Germanic *flataz (cognates: Old Saxon flat "flat, shallow,: Old High German flaz "flat, level," Old English flet, Old High German flezzi "floor"), perhaps from PIE *plat- "to spread" (source of Greek platys "broad, flat;" see plaice (n.)).

В основе «пл» - поле, плоский, плат и пр. Так же «положу». В данном случае - плита

1675:
FLAT (plat, F., flach, Teut., Patulus, L.) – плоский, ровный участок, так же равнина, широко раскинувшаяся равнина.

См. Даля:
http://enc-dic.com/dal/P/14.html .

flat – квартира
flat (n.) (из шотландского «flat» - пол, этаж дома); из староанглийского «flet» - жилище, пол, фундамент. См. flat (adj.).
1801, from Scottish flat "floor or story of a house," from Old English flet "a dwelling, floor, ground," from the same source as flat (adj.).

Ну, пол, понятно, плоский. Но, как то насчет квартиры странно. Может быть изначально «полати» и «палата»?