wad – комок, пыж; набивать ватой, сюда же «padding» - набивка

wad (v.) (вложить пыж)
1570s, "put a wad into," from wad (n.). From 1670s as "form into a wad;" 1759 as "pad or stuff with wadding." Related: Wadded; wadding.

wad (n.) (маленький пучок волокна, мягкий материал для набивки); из среднелатинского «wadda» или нидерландского «watten» или среднеанглийского «wadmal» - грубая шерстяная одежда; происхождение неизвестно
early 15c., wadde, "small bunch of fibrous, soft material for padding or stuffing," of uncertain origin, perhaps from Medieval Latin wadda (14c., source also of French ouate, Italian ovate), or Dutch watten (source of German Watte), or Middle English wadmal (c. 1300) "coarse woolen cloth," which seems to be from Old Norse vaðmal "a woolen fabric of Scandinavia," probably from vað "cloth" + mal "measure."

Даль:
вата, ж. расчесанный теплый подбой, подстега под одежу или одеяло, обычно из бумажного хлопка; иногда из шерсти, льняных, шелковых охлопьев или птичьего пуха. Ватный, ваточный, относящийся до ваты; ею подложенный, настеганный; теплая, стеганая одежа. Ватовать одежу, подбивать, подстегивать, класть на вату, стегать; ватоваться, стегаться.

Фасмер:
вата из. нем. Watte или франц. ouatte;

1675:
WAD (ƿeot, Sax., сено) – связка, пучок соломы или гороха, разновидность шелка, грубая фланель или хлопок; (1826): клочок, очесок льна, шерсти, меха, используемый для подбивки грубой одежды; пыж, маленький пучек; G. “vad, vod”; Swed., T. “wad”; S. “woed”; B. “waed”; F. “ouate”; L. “udo”

Дворецкий:
I udo, onis m
род войлочной обуви

«Вики»:
Слово пришло в русский язык из японского в XVII веке в результате торговых связей между Россией и Японией.
Слово заимствовано из немецкого языка (Watte), в который оно попало предположительно из арабского wáḍḍa или batin «подкладка».

1) Подбой, подбить, бить – (П) БТ – БТ – BT – WT, ср. «wadding» - подкладка, подбивка; бить – БТ – BT – WT (о пыже)
Подбой` Толковый словарь Ефремовой`
м. разг. 1) Действие по знач. глаг.: подбить (1а1). 2) а) Подкладка (одежды, головного убора и т.п.). б) Нижняя, оборотная поверхность чего-л. 3) То, чем подбито, обито что-л.

2) Вить – ВТ - VT
«Вики»:
Вата (от нем. Watte<1>) — пушистая масса волокон, слабо переплетённых между собой в различных направлениях.

3) Одеть, одену – ДТ – DT – WT, либо – одевать – ДВТ – (D) WT – WT (к «дею, деть, дать»)
Клюге: wat – одежда, наряд, архаичное слово; MidHG., OHG. “wat”; Zend. “wað” – одевать