walk – ходить, идти; обходить; аллея

walk (v.) (из слияния двух глаголов – староанглийского «wealcan» - носиться, метаться, ходить по кругу (прошедшее время – «weolc», причастие настоящего времени «wealcen» и из «wealcian» - скручивать, закручивать); из протогерманского *welk-, из PIE корня *wel- (3) – поворачивать, заворачивать
"travel on foot," c. 1200, a merger of two verbs, 1. Old English wealcan "to toss, roll, move round" (past tense weolc, past participle wealcen), and 2. wealcian "to roll up, curl," from Proto-Germanic *welk- (source also of Old Norse valka "to drag about," Danish valke "to full" (cloth), Middle Dutch walken "to knead, press, full" (cloth), Old High German walchan "to knead," German walken "to full"), perhaps ultimately from PIE root *wel- (3) "to turn, roll"

1675:
To WALK (vancher, Dan., ƿealcan, Sax. – крутить, поворачивать);(1826): G. “valka”; Swed. “walka”; S. “wealcan”; T. “walcken”; B. “walken”; It. “gualko”, так же – идти, топтать, пересекать на своих двоих; G. “aula”; Swed. “walla”; F. “aller”

1) Верчу – ВРЧ – VRC – VLC – WLK, так же – валкий, см. «wall» - ВЛК - WLK
Валкий `Толковый словарь Ефремовой`
прил. 1) а) Неустойчивый, легко опрокидывающийся, падающий набок. б) Раскачивающийся, переваливающийся (о походке, шаге). 2) разг. Такой, который раскачивается, трясется или вызывает раскачивание, тряску (обычно о дороге).

2) Гуляю – ГЛ – (G) L – aula, так же – улица (к «шел», ср. «шалю»), см. «alley», «villa»

Фасмер:
гулять разгул. Трудное слово. Бернекер и Брюкнер пытаются связать с гул; против. Совершенно иначе см. Потебня и Соболевский, которые считают исходным знач. "пить", ср. сербохорв. гу́лити "пьянствовать", неясное, однако, само по себе. Не более удачно Преобр., который считает древним знач. "отдыхать" и сравнивает с лит. guliù, gulė́ti "ложиться в постель, прилечь". •• <О развитии знач. "гулять" < "играть в мяч" см. Львов, Этимология, М., 1963, стр. 110 – 115. – Т.>