Ваша идея о сопоставлении этнонима "татаре" и "четыре" (тетрадь,татрадь и китрадь из этого же куста) очень ценна.
У меня она тоже появлялась, но я не мог сообразить как их увязать вместе, не по одному же созвучию делать это.

Сейчас читаю Смирнова, об истории татар крымских и околокрымских, турок..
Так вот там неоднократно упоминаются некие ЧЕТЫРЕ татарских эмира(там имеется чёткое указание что это Цари татарские).
А в одном месте они прямо названы ТЕТРАРХАМИ. В общем у тех татаровей часто фигурирует число 4.

Не отсюда ли вообще название ТАРТАРИИ (а также лат.territoria)?

В смысле что территория- это такая административная единица, границы которой неясны и относительны (а в то время может и вообще неизвестны), потому она как бы распростёрта на все ЧЕТЫРЕ стороны(света). Ввиду её неопределённости и неизвестности она делилась на условные Четверти (или чети) потому нужны аж четыре царя (была бы известна, понадобился бы всего один наместник).

Например: (Territory) территория (административная единица в США, Канаде, Австралии, не имеющая прав штата или провинции)

или (гугловский перевод):

Участок земли, принадлежащие и под властью князя или государства, находящегося на расстоянии от родительского страны или резиденция правительства; как территории Ост-Индской компании, на территории Соединенных Штатов; территории Мичиган, Северо-Западного края. Эти районы страны, когда принимали в союз и признанных государств, теряют наименования территории.
http://1828.mshaffer.com/d/word/territory