tug of war - английское идиоматическое выражение для игры в "переТЯГивания каната". Корень тянуть/тужиться или ТЯГА/ТУГА здесь действительно ключевой.
как глагол tug и носит в английском именно такое "бурлацкое" значение - 1) тащить, дёргать с усилием 2) прилагать усилия 3) буксировать, тянуть

Как существительное, в британском английском слово стало синонимом понятия "состязания" (кстати, не от "тянуть" ли также?)

А вот в американском английском tug стало и названием для каната. Видно, что словообразование с этим корнем действительно как-то сосредоточено вокруг этой игры-состязания "перетягивания лямки/верёвки/каната".