tray – лоток, поднос, тарелка, см. «trough», «trash»

tray (n.) (староанглийское «treg, trig» - широкая деревянная доска (блюдо) с узким ободом; из протогерманского *traujam; из PIE *drou-, вариант *deru-, словообразующий элемент имеющий отношение к дереву
Old English treg, trig "flat wooden board with a low rim," from Proto-Germanic *traujam (source also of Old Swedish tro, a corn measure), from PIE *drou-, variant of *deru-, forming words refering to objects made of wood

1675:
A TRAY (tragen, Teut., traghe, Belg. – нести, или из trayer, F. – подойник или из trahere, L. – тащить) – разновидность корыта, выдолбленного из куска дерева, для подачи блюд; (1826): Swed. traij

Ср. «trash» - рубить, обрезать; отрежу – ТРЖ – TRSH (J)

Ср. «trough»

trough (n.) (корыто, долбленка); из протогерманского *trugaz; из PIE *dru-ko-, из корня *dru-, *deru- дерево
Old English trog "wooden vessel, tray, hollow vessel, canoe," from Proto-Germanic *trugaz (source also of Old Frisian, Old Saxon, Old Norse trog, Middle Dutch troch, Dutch trog, Old High German troc, German trog), from PIE *dru-ko-, from root *dru-, *deru- "wood, tree"

1675:
TROUGH (troᵹ, Sax., troeh, Belg., trog, Teut., truogo, Ital.) – вырезанное деревянное блюдо для хлеба, деревянное корыто для кормления свиней; водоток; TROUGH of the Sea (среди моряков) – провал между двумя волнами в волнующемся море.

1826:
TROUGH, s. – длинное выдолбленное корыто, гроб, ложбина волны; G. “tro, trog”; Swed., S., T., B. “trog”; L.B. “trua”

Отрежу – ТРЖ - TRᵹ (G) - TRGH

Кстати, еще одна версия для Трои. Город в ложбине.

Сюда же «троговая долина», «трог»

«Вики»:
Трог, троговая долина (от нем. Trog — корыто) — долина в ледниковой или древнеледниковой области с корытообразным (U-образным) поперечным профилем, широким дном и крутыми вогнутыми бортами, которые связаны с выпахивающей деятельностью ледников.


Хотя здесь может накладываться и слово «торок»

Фасмер:
торок I торок I "торная дорога", перм. (Даль). От тор I. II торок II "небольшой плот из вдольных бревен", днепровск. (Даль), укр. торок – то же. Вероятно, связано с тор I. III торок III, торох "буря, порыв ветра в море, шквал", арханг. (Подв.), олонецк. (Кулик.)., саам. нотоз. tоаrаk "буря". Трудно оторвать от торкать;

Сюда же и литовский «Тракай» (если не от «торг»).