game – игра, партия, матч, развлечение.

game (n.) (староанглийское «gamen» - игра, веселье, радость, развлечение); обычное слово в группе германских языков; связано с готским «gaman» - участие, общность; из протогерманского *ga- собирательная приставка + *mann – человек; имеет смысл «люди, собранные вместе»

Old English gamen "game, joy, fun, amusement," common Germanic (cognates: Old Frisian game "joy, glee," Old Norse gaman, Old Saxon, Old High German gaman "sport, merriment," Danish gamen, Swedish gamman "merriment"), regarded as identical with Gothic gaman "participation, communion," from Proto-Germanic *ga- collective prefix + *mann "person," giving a sense of "people together."

Извините, «га», так говорят гуси. Или это вопросительное на суржике. Они бы еще «human» вспомнили. Или «c’mon».

Гомон Толковый словарь Ефремовой
м. разг. Нестройный шум множества голосов, звуков.

Фасмер (в своем репертуаре):
гомон "гам, шум", укр. го́мiн, род. п. го́мона, чеш. homon, польск. gomon "ссора, шум", сюда же угомон, угомони́ть (ся). Возм., стар. заимств. из герм.; ср. др.- исл. gaman ср. р. "радость, веселье", англ. game "игра"; см. Бернекер 1, 326 и сл.; Уленбек, AfslPh 15, 486; Голуб 57; Маценауэр, LF 7, 187. Однако можно предположить и родство с герм.; см. Младенов 575; Ильинский, РФВ 63, 341. Допустимо также родство с гам, гом; ср. Брюкнер, KZ 45, 48; Стендер – Петерсен, Mél. Mikkola 277 и сл.; совершенно неприемлемо сближение с норв. vama, vamra "резвиться", ср.- в.- н., ср.- нж.- н. wimmen "копошиться, кишеть", вопреки Стендер – Петерсену (там же) и Кипарскому (27); см. также Гуйер, LF 60, 473 и сл.

Т.е. предположить звукоподражание…
Даже его ученики с ним не согласны.

Гомон Этимологический словарь русского языка
гомон Общеслав. Того же корня, что и гам.
Для слова «game» я бы предположил «гон», ср. «гандбол». Но, с другой стороны, есть слово «gambol» - веселиться, прыгать, скакать. Так же «выделывать коленца». Обычно на Рождество.

Надо полагать сюда «гамма»:
Гамма Словарь иностранных слов
(греч. gamma, третья буква греческой азбуки). 1) старинная Гвидонова система звуков, начинавшаяся с греч. буквы гаммы. 2) семь основных музыкальных звуков (do, re, mi, fa, sol, la, si), расположенных в постепенном возвышении.
(Источник: "Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка". Чудинов А.Н., 1910)

И «гимн»:
Гимн Словарь иностранных слов
(греч. hymnos, от hymneo - петь, славить). 1) у древних песнь, в которой прославлялись доблести богов и героев. 2) у христиан, хвалебная песнь в честь бога или святых, а также народный гимн, выражающий национальную идею или молитву за главу государства.
(Источник: "Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка". Чудинов А.Н., 1910)