>из протогерманского *ga- собирательная приставка + *mann – человек; имеет смысл «люди, собранные вместе»

Явно притянуто за уши.

Имно, GAME и ГАМ родственники.

Извечный вопрос, кто от кого.
Трубачев считаем ГАМ "По происхождению, по-видимому, звукоподражание".

Но попробуем копнуть.
Во-первых отмечают, что гам это скорее несколько голосов, несколько птиц и т.д.
Во-вторых, есть такое слово как "звук". По-белорусски оно "гук".
Т.е. можно предположить, что основа типа ЗВУК-ЗОУК, ГОУК (Г-З).
Тогда в слове ГАМ (а основа видимо Г-ОУ-М) можно предположить и "З", тогда получаем З-ОУ-М, ЗВОМ, ЗВОН.
А "звон" это возможно тоже скорее несколько источников звука, например несколько колоколов. Т.е. сближается с ГАМом.