gate – ворота, калитка, горный проход, шлюз

gate (n.) (вход); староанглийское «geat» (мн. ч. «geatu») – ворота, дверь, проход, калитка; из протогерманского *gatan; происхождение неизвестно.
"opening, entrance," Old English geat (plural geatu) "gate, door, opening, passage, hinged framework barrier," from Proto-Germanic *gatan (cognates: Old Norse gat "opening, passage," Old Saxon gat "eye of a needle, hole," Old Frisian gat "hole, opening," Dutch gat "gap, hole, breach," German Gasse "street"), of unknown origin. Meaning "money collected from selling tickets" dates from 1896 (short for gate money, 1820). Gate-crasher is from 1927. Finnish katu, Lettish gatua "street" are Germanic loan-words.

1675:
A GATE – ворота, улица, променаж

1826:
GATE, s. 1. ворота, калитка; G. “gat, goett”; S. “goet, jate” из “gata”; S. “goetan” – держать, откуда древнее английское слово «Gatehouse» - тюрьма. Финикийское «gadir» - закрытое место, сейчас это Кадиз и мыс Гат в Испании.
2. Улица, дорога; G. “gata”; Swed. “goeta”; D. “gade” из G. “ga” – идти. См. “Gait”.

GAIT, s. – дорога, улица.

Совершенно верно разделены эти понятия, вот только исходники не совсем верны.
1) В смысле «ворота» - это «ход», замена «х» - «g» - ХД – GD – GT – gate, точнее «вход»

2) В смысле «улица», «дорога» - гать. Дороги, до появления массовой обработки камня, в лучшем случае, делали из бревен, позднее – из досок. Иначе можно было в грязи утонуть. В Европе было сложнее, лес быстро вывели. Вероятно, в какой-то момент оказалось, что мостить дорогу дешевле камнем. Кстати, в Архангельске были деревянные мостовые, не знаю, остались ли? Оказывается, остались.
СПб 1924
.

Первые деревянные мостовые в Москве достоверно известны с XIV в. (по мнению некоторых исследователей, мостовые имелись и ранее, возможно, с XI в.). Для сооружения и ремонта мостовых Земский приказ в XVI в. собирал с москвичей специальный налог. Во второй половине XVII в. мостовые имелись на многих улицах Кремля, в Китай-городе и Белом городе, на некоторых в Земляном городе. Замощённые улицы получали дополнительные названия: Большая Тверская мостовая улица, Большая мостовая Никитинская улица и т.д. В начале XVIII в. дерево мостовых заменяется булыжником. Указом Петра I от 24 января 1718 было приказано всем домовладельцам в Кремле и Китай-городе сделать каменные мостовые перед принадлежащими им зданиями.
http://dic.academic.ru/dic.nsf/moscow/1988/%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5

БиЕ:
Бревенчатые мостовые
употребляются в малонаселенных местах, изобилующих лесом, каковы, напр., южная часть Минской губернии, известная под названием Полесья. В этой местности бывают подобные мостовые по несколько верст длины, они сделаны из круглых бревен и содержатся очень дурно, отчего езда по ним делается несносной. Такие дороги имеют местное название (Grobla). Обыкновенно же под такого рода мостовую полотно приготовляется следующим образом: по обеим сторонам полотна вырывают канавы и вынутую из них землю выбрасывают на середину. Одна половина полотна дороги выравнивается скатом к канаве и предназначается на летнюю дорогу; другая же выстилается бревенчатой мостовой, для чего по длине полотна кладут лежни от 3 до 4 сажень длины и до 6 вершков ширины в расстоянии один от другого 3½ фута. Лежни эти зарывают в землю в уровень с поверхностью полотна, подкладывая под стыки куски тех же лежней, длиною до 3 фут. После утрамбовки земли настилаются поверх доски или полубревна (пластины). Вся ширина бревенчатой мостовой бывает не более 9 фут. Если такие мостовые заливаются весной водою, то по краям досок следует класть прижимные брусья, которые или привязываются к лежням, или прибиваются к ним дубовыми нагелями. При хорошем содержании езда по такой мостовой очень хороша и неутомительна.


Гать Этимологический словарь Крылова
Гать
Общеславянское слово, вероятно, восходящее к той же индоевропейской основе, что и древнеиндийское gatus – "дорога". Первоначальное значение – "проход через болото".

Гать Этимологический словарь русского языка
гать Общеслав. Суф. производное от индоевроп. *ga- «проходить, идти» > (ср. др.- инд. gatú- «проход, дорога»). Гать буквально — «место, где можно пройти».

Фасмер:
гать ж., гатить "прокладывать вязанками хвороста (дорогу)", укр. гат – то же, гати́ти, др.- русск. гать "agger", сербохорв. га̑т "дамба, запруда", словен. gȃt м. – то же, чеш. hat ж. "гать", польск. gać ж. "кустарник, хворост", в.- луж. hat м., н.- луж. gat "пруд". Возм., связано с гай; см. Бернекер 1, 296; Mi. EW 60; Мука, Mat. i Pr. 1, 441. Другие допускают родство с греч. βαίνω "иду", ἕβην, лат. veniō, др.- инд. gātùṣ "дорога", авест. gātu - "место", с первонач. знач. "проход (через болото)"; см. Махек, LF 51, 240 и сл.; Брюкнер, KZ 46, 233; Нога, ZfslPh 5, 214. Неприемлемо сближение с др.- инд. ghaṭanam "junctio", вопреки Маценауэру, LF 7, 177. Сомнительно также сравнение Брюкнера (KZ 45, 49) с русск. га́чи мн. "штаны" и родственными.

Даль (гаить):
или гаять что, ряз. и яросл. крыть, хитить, у (за, на, по) крывать, ухичать, кутать, платать, чинить. Отсюда гоить, лечить рану; гайно, гойно, гнездо, логво, хлев; загаить, затворить, разгаять, растворить; гать, гатить, мостить; загаина, куча, груда и пр

гачивать, заваливать воду, топь или болото хворостом, соломой, землей. Гатят дорогу по топкому или песчаному месту, или плотину, для удержания воды. | Гатить иногда говор. вместо валить, в знач. излишнего употребления чего, а иногда вместо сорить, дрянить. - ся, быть гачену; гатить у себя, около себя. Гачение ср. действ. по знач. глаг. Гатьба, гатка ж. то же, а иногда и самый предмет, т. е. гать ж. гаченое или загаченное место, гаченая дорога; насыпь, плотина.

Горяев проводит параллель с «готовить». Ну, собственно, «гатить» и «готовить» - «готоить» - «гатить». Вполне приемлемая картина. Так же «гнать» - «гать». Ну, и естественно, «ход».