grave – серьезный, тяжелый, мрачный; могила, смерть; гравировать

grave (n.) (староанглийское «græf» - могила, дыра, пещера); из протогерманского *graban; из PIE корня *ghrebh- (2) – рыть, зарывать, зарапать, срести
Old English græf "grave, ditch, cave," from Proto-Germanic *graban (cognates: Old Saxon graf, Old Frisian gref, Old High German grab "grave, tomb;" Old Norse gröf "cave," Gothic graba "ditch"), from PIE root *ghrebh- (2) "to dig, to scratch, to scrape" (source also of Old Church Slavonic grobu "grave, tomb"); related to Old English grafan "to dig" (see grave (v.)).

grave (v.) (гравировать); староанглийское «grafan» - копать, резать, вырезать; из протогерманского *grabanan – гравировать; из PIE корня *ghrebh- (2) – рыть, зарывать, зарапать, скрести
"to engrave," Old English grafan (medial -f- pronounced as "v" in Old English; past tense grof, past participle grafen) "to dig, carve, dig up," from Proto-Germanic *grabanan (cognates: Old Norse grafa, Old Frisian greva, Dutch graven, Old High German graban, German graben, Gothic graban "to dig, carve"), from the same source as grave (n.). Its Middle English strong past participle, graven, is the only part still active, the rest of the word supplanted by its derivative, engrave.

grave (adj.) (из среднеанглийского «grave»); из латинского «gravis» - тяжелый, серьезный, печальный, гнетущий; из PIE корня *gwere- тяжелый
1540s, from Middle French grave (14c.), from Latin gravis "weighty, serious, heavy, grievous, oppressive," from PIE root *gwere- (2) "heavy" (cognates: Sanskrit guruh "heavy, weighty, venerable;" Greek baros "weight," barys "heavy in weight," often with the notion of "strength, force;" Old English cweorn "quern;" Gothic kaurus "heavy;" Lettish gruts "heavy"). Greek barys (opposed to kouphos) also was used figuratively, of suffering, sorrow, sobbing, and could mean "oppressive, burdensome, grave, dignified, impressive." The noun meaning "accent mark over a vowel" is c.1600, from French.

По порядку:
Могила.
1675:
A GRAVE (ᵹrafe, Sax., Grab, Teut.) – дыра, вырытая в земле для похорон.
Тут два варианта:
1. Гроб (из короб, коробка) – замена «б» - «v». ГРБ – GRB – GRV – grave
2. Гребу (загребаю, закапываю), замена та же.
3. Ковыряю. См. «carve», «cave». КВР – замена «к» - «с» - «G» и перестановка. KVR – GVR – GRV – grave.

Гравировать, гравер. См. «carve» - ковырять, «cave». Возможно, так же «царапал», см. «graffiti».

Тяжелый, мрачный:
1. Гребу, нагребаю, делаю тяжелым. Замена «б» - «v». ГРБ – GRB – GRV – gravis – grave.
Сюда же «гравий», «гравитация».
2. Угрюмый. См. «gloomy».
3. Груз, гружу. Гот. «kaurus», лит. «gruts», санскр. «guruh».

Насчет βαρύς – тяжесть, груз, вес, в переносном смысле – печаль и даже «вес в обществе», откуда «бар» - единица измерения давления.
Бикс: родственно санскр. guruh, гот. «kaurus», санскр. gariyan, лат. brutus – тяжелый, грубый

На мой взгляд, это «беру» (вес), бросаю или «валю» (наваливаю), что действительно уравнивает греч. βαρύς и gravis. По крайней мере в смысловом понимании.