gym – спортивный зал, gymnastics – гимнастика

gymnasium (n.) (место для упражнений, гимназия); из латинского «gymnasium» - школа для занятия гимнастикой; из греческого «γυμνάσιον» - место для тренировки атлетов, гимнастическая школа; во множественном числе – упражнения для тела; из «γυμνός» - обнаженный
1590s, "place of exercise," from Latin gymnasium "school for gymnastics," from Greek gymnasion "public place where athletic exercises are practiced; gymnastics school," in plural, "bodily exercises," from gymnazein "to exercise or train," literally or figuratively, literally "to train naked," from gymnos "naked" (see naked). Introduced to German 15c. as a name for "high school" (more or less paralleling a sense in Latin); in English it has remained purely athletic.

Бикс дает еще одно значение для «γυμνός» - безоружный. Так же он производит это слово от санскр. «nagna», т.е. признает обратное прочтение греческого слова. Заодно и замену «н» - «μ». В санскрите «na» - юс.
Приводит Бикс и старославянское «nagъ», но вскользь. Понятно, что сюда же англ. «naked» с тем же значением.

Нагой Этимологический словарь русского языка
нагой Общеслав. Того же корня, что нем. nackt «нагой, голый», лат. nudus, др.- инд. nagnás и т. п. Если, как думают некоторые ученые, слово родственно др.- инд. nāgas «змея, слон», то первоначальное значение — «без шерсти».

Нагой Этимологический словарь русского языка Семенова
нагой
Древнерусское – нагый (обнаженный, вынутый из ножен).
Общеславянское – nagъjъ.
Прилагательное «нагой» – славянское по происхождению, исконное.
Впервые встречается в русском языке в X в. Есть и в других языках, например в литовском (nuogas – «голый»), в латышском (nuogs).
Нагой – «не имеющий на себе никакой одежды».
Родственными являются:
Украинское – нагий.
Сербохорватское – наг.
Словенское – nag.
Чешское и словацкое – nahy.
Польское – nagi.
Производные: наг, нагота, обнажаться, обнажиться.

Фасмер:
нагой наг, нага́, наго, укр. нагий, др.- русск., ст.- слав. нагъ γυμνός (Супр.), сербохорв. наг, нага, наго, словен. nȃg, ж. nága, чеш., слвц. nahý, польск. nagi, в.- луж. nahi, н.- луж. nagi. Родственно лит. núogas "голый", лтш. диал. nuôgs (Эндзелин, KZ 42, 379); с др. ступенью вокализма: др.- инд. nagnás "нагой", авест. mаɣnа - (вероятно, из *nаɣnа; см. Граммон, IF 25, 371), др.- ирл. nocht, гот. naqaÞs, нов.- в.- н. nасkt "голый, обнаженный", лат. nūdus – то же (*nogedos); см. Траутман, ВSW 201; Мейе–Вайан 35; Педерсен, Kelt. Gr. l, 129; Вальде–Гофм. 2, 185. Сомнительно родство с др.- инд. nāgas "змея, слон", первонач. "голый зверь" (Зубатый, ВВ 18, 251; LF 17, 393 и сл.). Отсюда нагота́, ср. лит. nuogatà, др.- инд. nagnátā- ж. "нагота, обнаженность" (Мейе, Ét. 294). •• <Ср. еще хетт. neku-mant- "голый" (В. В. Иванов, И.- е. корни в клинописном хетт. языке, дисс., рукоп., М., 1955, стр. 464). Махек (ZfS, 1, 1956, стр. 34) видит в балто-слав. *nōg- экспрессивное растяжение при *nŏg- в др. и.- е. языках. – Т.>

А как быть со словами «нога», «нож», «ножны»? А так же «ничто», «ночь», «никто»? Так же «низ», «нега», «нежный», Онего, Онега, снег, знак? Не сюда ли пара «гну» - «нагну», куда, видимо, и нога? Да, еще наглый, наглость. В обратном прочтении – жена? Если так, то этимология вырастает из «- р» (земля) – род – рождать – роженица – жена – нега – нагая (Мария Нагая).

И, чем в итоге занимались в «гимназиях», учитывая, что так одни мужчины? О греческих оргиях много чего написано. Да и о культе мужского тела в «античности» тоже не мало.

Другое предположение лежит в кусте «мог», «могу», «могучий». Если это атлеты, то по определению люди, силой не обделенные. Вполне вероятно, что греческое «γυμ» = «мог», «могу». Сюда же и предположение ФиН о «жим», «жму».

Так же «муж», как обратное прочтение от «γυμ». Место, куда собирались «мужи», т.е. «мужчины». Кстати, «муж» и «жена», не одно ли слово в обратном прочтении?