Продолжаем курс лекций.
Кстати, забавно, как Егор и Неуч, оба возражая мне, противоречат друг другу. Неуч основывает нулевой год дискретным счетом лет, а Егор, похоже, обвиняет меня в том, что я навязываю непрерывному счету лет дискретную математику. А корпоративные чувства не дают им позабавиться на сей счет .

7. Встает вопрос – чем задается единичный отрезок? И каждый знает, что, кроме таких условных, искусственных единичных отрезков, как метр, килограмм, секунда, существуют естественные единицы. Например, для измерения расстояния существуют пядь, сажень, фут, дюйм. В специальных случаях чекушка или плитка. Т.е. единица измерения может определяться каким-то существующим объектом в пространстве счета. Геометрическое пространство некоторым образом особенное – оно может содержать большой класс объектов, игнорируя всех их свойства, кроме геометрических. А само пространство имеет только один «показатель мерности» - расстояние. Но есть другие пространства счета, более узкие в смысле класса содержащихся объектов.
Возьмем, для примера, пространство яблок. Мы обнаруживаем, что единственным классом объектов, содержащихся в пространстве, является яблоко и, кроме таких условных единиц измерения («мерностей») яблок, как килограмм, кубометр и прочее, существует четко выраженная естественная единица измерения – штука.

В этом месте я предлагаю оставить за рамками обсуждения вопрос «мерностей», не знаю, как правильно это назвать. Смысл в том, что яблоко, как объект счета, многомерно. И его можно считать на вес, объем, поштучно. Можно, например, считать это разными метриками одного пространства. Для процесса счета этот вопрос не играет никакой роли.

Итак, вернемся к штукам. При рассмотрении пространства яблок выясняется, что, передвигаясь по оси счета, мы гораздо легче попадаем в состояния, где количество штук яблок целое. Вспоминая последний рисунок, отмерить(!) А яблок или Б гораздо сложнее, чем 1 или 3.
(рис. п. 4)
Такое пространство можно назвать дискретным. Некоторые называют его квантованным. При этом дискретность бывает разной. Например, то же яблоко дискретно относительно, поскольку выделить часть яблока, например, половину, все-таки можно. Можно отсчитать и четверть и три восьмых яблока – т.е. на оси счета поставить точку внутри единичного отрезка и сопоставить ей число.

А вот пространство счета людей имеет другую дискретность, ибо никакого физического смысла в числе «полтора человека» нет. Ибо нет физической однородности человека, такой, чтобы две половинки человека составляли одного. Однако, поскольку человек гораздо многомернее геометрического пространства и даже яблока, выделить «мерность», «метрику», в которой доля человека может иметь смысл, все же возможно. Например, иногда встречается сравнение детей с половиной взрослого человека, или говорят, что тот или иной воин стоит двоих или троих – такое подразумевает, что в такой «метрике» те двое-трое занимают половину-треть воина. Далее, вспомним старый мультфильм про полтора землекопа. Смешно, конечно, и, с точки зрения школьной логики, невозможное решение задачи. Но мы-то взрослые люди и понимаем, что при решении реальных задач получить ответ «1,37 землекопа» вполне возможно, осмысленно и математически правильно. Просто при практическом использовании такого ответа необходимо привести ответ к реальности и взять второго землекопа, по живому месту которого резал ответ, целиком.

Строгую форму дискретности имеют, в основном, абстрактные понятия, по причине как раз своей абстрактности. Абстрактность подразумевает упрощенность, «одномерность» объекта, вследствие чего и получение доли такого объекта становится бессмысленно. Примерами могут служить отсчеты, числа, точки и т.п. При этом надо помнить, что, хотя точка в геометрическом(!) пространстве не имеет размера, в пространстве точек она имеет единичный размер (при счете штуками), просто надо следить, чтобы множество точек, выбранное для счета, было счетным, иначе счет не получится.

Вот этот момент – то, что точка в пространстве счета точек является отрезком, как свидетельствует мой опыт, не всем понятен. И я не понимаю, почему. Ведь все просто – кроме ТОЧЕК в пространстве ТОЧЕК ничего нет и быть не может. Следовательно, когда какое-то количество ТОЧЕК наполняет пространство, оно, пространство, меняется с каждой ТОЧКОЙ: добавим ТОЧКУ – заполнение больше, убираем ТОЧКУ – заполнение меньше. Таким свойством обладает только отрезок, ибо для заполнения пространства на какую-либо, даже очень маленькую, величину требуется бесконечное количество точек. Значит, ТОЧКА является отрезком, а не точкой, в пространстве ТОЧЕК. Чтобы было понятнее представление неделимого объекта отрезком, попробую пояснить на конкретном примере. Существующие сейчас представления о пространстве-времени включают в себя понятие о кванте пространства-времени. Рассмотрим временной квант – неделимый отрезок времени, в том смысле, что не может быть событий, разделенных временем, меньшим, чем длительность кванта времени. Или, по-другому, события, произошедшие в течение одного кванта времени, не имеют отношения последовательности – нельзя сказать, какое произошло раньше. Однако, несмотря на неделимость, квант времени представляет собой отрезок, имеющий конкретную «длину». И иначе не может быть, ибо любой интервал времени состоит из конечного числа квантов. Точно таким же образом любое дискретное пространство счета состоит из квантов счета, каждый из которых представляет собой отрезок соответствующей «мерности», для внутренних точек которого невозможно указать отношение порядка.

Таким образом, мы делаем вывод, что счет непрерывного и дискретного пространств ничем существенным не отличаются друг от друга и рисунок пункта 4 равным образом может быть отнесен как к счету расстояний, так и к счету яблок. При этом нам надо просто помнить, что точки внутри единичных отрезков (квантов) в дискретном пространстве могут не иметь отношения порядка или иметь некоторые ограничения этого отношения.

Конец второй лекции.