И снова возвращаемся к теме, чтобы завершить начатое. Однако, за истекший период интерес объяснять очевидное людям некоторого сорта немного угас, поэтому прошу извинить меня за некоторый сумбур в изложении.

8. Прежде чем продолжать, стоить рассмотреть пару вопросов, которые были молчаливо обойдены в предыдущих темах, однако являются основой самого счета, как явления.

Во-первых, нами не был затронут очевидный вопрос равенства единичных отрезков. Равенство счетных элементов является, собственно, первой ступенькой математического абстрагирования от реальности – чтобы ни начали мы считать в реальной жизни, мы всегда в первую очередь выделяем какие-то однородные качества реальных предметов и не обращаем внимания на реальные различия. Можно сказать, что основой счета является категоризация. В результате один один метр (такая получилась омонимия) равен другому одному метру так же, как одно яблоко равно другому яблоку, несмотря на то, что один метр – это метр ткани, а другой – метр пути от дома до школы, и одно яблоко – антоновка, а другое – белый налив.

Во-вторых, процесс счета подразумевает некоторое отношение упорядоченности – в процессе счета каждому счетному элементу (отрезку) сопоставляются определенные последовательные числа, причем следующее число имеет смысл только по отношению к предыдущему. Иными словами, целые числа имеют рекурсивное определение. При этом обращаю внимание на то, что процесс счета идет отрезками – множество точек не является счетным, поскольку между любыми двумя точками находится бесконечное количество точек, и, очевидно, последовательный счет точек, их перебор, невозможен, хотя точки все же могут иметь отношение упорядоченности. Здесь мы сталкиваемся с аналогией известным апориям Зенона об Ахиллесе, но сейчас нет смысла их рассматривать.

Суммируем все, что мы рассмотрели до сих пор. Одним из слушателей лекций был предложен пример, который достаточно хорошо укладывается в тему лекции – было предложено посчитать забор.
Проследим счет забора.
рис.5
В чем считать забор? Как было рассмотрено в предыдущих темах, счет чего бы то ни было ведется в отрезках. Считать забор в метрах для нас не очень интересно, посмотрим, нет ли у забора естественного дискретного отрезка, в котором можно было бы считать. И точно, такой естественный отрезок мы можем найти – это пролет забора. Пролет – это часть забора между одноименными точками, по принципу одинаковости единичных отрезков.
рис.6
Предпочтительными и наиболее часто используемыми вариантами являются, конечно, а и б. Соответственно, на рисунке 5 представлен забор, состоящий из трех пролетов плюс один столб.
Однако есть информация, что кое-кто собирается считать заборы столбами. Видимо, с целью найти нулевой столб не мытьем, так катаньем. Что ж, посмотрим, что будет. Для этого представим себе забор из трех столбов.
рис.7
Разница, как говорится, на лицо. Почему так получается? А потому, что, считая столбами, мы не указываем ни расстояния между ними, ни их взаимное положение друг относительно друга. А если мы укажем расстояние и относительное положение, то мы получим пролет забора, с чего собственно и начали. Даже если этот пролет будет равен одному столбу, в случае частокола.

Может быть можно посчитать забор, указав в качестве расстояния между двумя точками количество столбов, находящихся между ними? Попробуем показать расстояние в три столба.
рис.8
И снова, как видим, ничего не получается – невозможно считать как-то иначе, чем отрезками. Причем на рисунке указано только три варианта из бесконечного количества. А если мы попробуем каким-то образом выделить один конкретный вариант, то тут же, неминуемо, придем к понятию и определению пролета.

Теперь совместим наш забор с той числовой осью, которую мы получили ранее.
рис.9
Собственно на этом можно было бы и закончить тему соотношения между порядковыми и количественными числительными, между целыми и дробными числами (количественными). Но мы факультативно рассмотрим еще несколько вариантов.

Например, посмотрим, как же все-таки считаются столбы.
рис.10
Этот рисунок может представлять определенную сложность для тех, кто плохо понял предыдущие темы. На нем мы видим столбы, расположенные в геометрическом(!) пространстве. И может возникнуть (и часто возникает) путаница между счетом геометрического пространства и счетом каких-либо предметов. Геометрическое пространство в данном случае служит только для определения отношения порядка между столбами и отсутствует в пространстве счета столбов.

Для наглядности представим себе пространство счета столбов в увеличенном виде.
рис.11
Если мы представляем себе столбы как дискретные величины, как кванты, то единственно возможными состояниями в пространстве столбов будут только целые количества столбов. Эти состояния, когда столбов, например, два, являются точками в пространстве столбов.

Для наглядного представления можно вспомнить гораздо более яркий и практичный пример. Все мы ездим общественным транспортом и часто сталкиваемся с необходимостью считать остановки. И все проблемы при счете остановок всегда возникают только и исключительно из-за путаницы между счетом остановок, как остановочных пунктов, и счетом остановок, как перегонов. Здесь играет роль тот факт, что, проехав две остановки, мы в результате посетим три остановочных пункта. Разбор счета остановок предлагаю как домашнее задание.

На данную тему можно посмотреть и с другой стороны. Зададимся вопросом: на лестничной площадке квартиры последовательно пронумерованы числами от 5 до 8; сколько квартир на площадке? Вот тут и становится понятным отличие порядка от количества. Дело в том, что квартира, например №6, является отрезком и занимает целую единицу в нумерации – до нее 5 квартир (как вариант), а после нее квартир становиться 6. А внутри квартиры происходит изменение количества квартир от 5 до 6, пробегая все промежуточные значения. Но, поскольку для точек и отрезков внутри квартиры мы не можем указать ни упорядоченность, ни равенство каких либо отрезков (типа маленькая комната равна кухне), то счет становиться дискретным и изменение состояния с 5 на 6 происходит скачком. Т.е. мы возвращаемся к началу текущей темы – необходимые условия счета не выполняются и счет внутри квартиры невозможен, если, конечно, не найти подходящую категоризацию, о чем уже шла речь в 7-й теме.

А что бы посчитать количество квартир (количество отрезков) надо вычесть координаты крайних точек: крайняя справа 8 минус крайняя слева 4 равно 4 квартиры (имея в виду привычное направление счета слева направо).