explain – объяснять, раскрывать; explanation – объяснение

explain (v.) (из латинского «explanare» - выравнивать, распластывать, сглаживать, так же объяснять, делать понятным)
early 15c., from Latin explanare "to make level, smooth out;" also "to explain, make clear" (see explanation).

Originally explane, spelling altered by influence of plain. Also see plane (v.2). In 17c., occasionally used more literally, of the unfolding of material things: Evelyn has buds that "explain into leaves" <"Sylva, or, A discourse of forest-trees, and the propagation of timber in His Majesties dominions," 1664>. Related: Explained; explaining; explains.

explanation (n.) (из латинского «explanationem» (именительный падеж – «explanationem»); из причастия прошедшего времени от «explanare» - делать ровным, чистым, объяснять; из «ex-» - из + «planus» - ровное место.
late 14c., from Latin explanationem (nominative explanationem), noun of action from past participle stem of explanare "to make plain or clear, explain," literally "make level, flatten," from ex- "out" (see ex-) + planus "flat" (see plane (n.1)).

plane (n.1) (ровная поверхность, равнина); из латинского «planum» - ровная поверхность, уровень; из прилагательного «planus» - ровный, чистый; из PIE *pla-no-, суффиксальная форма от корня *pele- (2) – простираться, ширь, ровная поверхность.
"flat surface," c.1600, from Latin planum "flat surface, plane, level, plain," noun use of neuter of adjective planus "flat, level, even, plain, clear," from PIE *pla-no- (cognates: Lithuanian plonas "thin;" Celtic *lanon "plain;" perhaps also Greek pelanos "sacrificial cake, a mixture offered to the gods, offering (of meal, honey, and oil) poured or spread"), suffixed form of root *pele- (2) "to spread out, broad, flat" (cognates: Old Church Slavonic polje "flat land, field," Russian polyi "open;" Old English and Old High German feld, Middle Dutch veld "field"). Introduced (perhaps by influence of French plan in this sense) to differentiate the geometrical senses from plain, which in mid-16c. English also meant "geonetric plane." Figurative sense is attested from 1850. As an adjective from 1660s.

Практически аналог – «разложу по полочкам», «заполнить пробелы», «поляна» и «беленый» однокоренные слова. Иначе откуда возникло понятие «делать чистым» (аналог – начинать с белого листа).

Слово «поляна» видно невооруженным глазом. ПЛН – PLN – plane. Поляна от лан (елань, джайлу, яйла) с изначальным корнем «-л». Поле – сокращение от поляны. Сюда же «лен» - ленное владение. Кельтское *lanon – равнина.

1828:
PLANUS – равнина, ровное место; из πλανός – бродяга, блуждающий; из πλάω (такого слова я не нашел), откуда πελάζω – приближаться, придвигаться, а так же πέλαγος – открытое море и πέλανος – жертвенная лепешка. Да, забыли заимствовать слово «поляна», отсюда и такие мучения.

Теперь понятно, откуда «πέλαγος» - море. Это наше «поляна», просто спутали «ν» и «γ». Отсюда и всяческие «архипелаги» - группы островов.
Слово «архипелаг» возникло от греческих слов arche — начало, главенство и pelages — море. Αρχιπέλαγος первоначально назывался лишь Греческий архипелаг, т. е. группа островов Эгейского моря.

Ну, может и «начало», но это довольно странно. Или «главный» над морем, тоже странно. В 1675 такого слова еще нет, а «arch» толкуется как часть окружности (коло). В издании Бейли 1674 слово отсутствует. В первом издании «Британики» слово есть, толкуется как прерываемое островами пространство, в более узком смысле – острова между Грецией и Азией.

Интересная версия словаря 1783:
ARCHIPELAGUS – великое море, простирающееся от Константинополя в Средиземное, известное современным морякам по имени «the arches».

Надо полагать – главный, управитель, руководитель (ср. «архирей», «архангел» т.е. в основе «рука». Кстати, там выводят «Αρχω» из «ραχο» - rego – вытягивание, растягивание.

В словаре 1828:
RECKEN (Germ). – тянуть, протягивать; Hebr. – “rakag”; Goth. “rakjan”; Fr. “recchen”; Icl. “reckia”; Babylonian “rac” – король, т.е. наши «рука» и «река». Обратное прочтение – царь, кир и пр. Надо полагать, что слово «царь» - внешнее заимствование. Хотя – «в руце». Горяев считает, что из «кесарь» - «цезарь», но мне кажеться – это более позднее слово (вмешательство «с»).

Αρχε – principium (начало) + πέλαγος – море. Получается, изначально имелось в виду «главное море», а уж затем – цепь островов.

Так же можно привлечь слово "исполню"
Исполню.
Исполнить Этимологический словарь русского языка
исполнить Заимств. из ст.- сл. яз. (ср. и см. искон. выполнить), где оно — преф. производное от плънити «исполнить» (от плънъ «полный»). См. полный. Буквально — «сделать что-л. полностью (до конца)».

Разложить по полочкам Словарь синонимов
разложить по полочкам
привести в систему, разнести по рубрикам, классифицировать, разобрать, рассортировать, систематизировать

Так же, возможно, сюда вмещалось и слово «expleo»
1828:
EXPLEO – заполнять; из πλέω. Здесь ошибка, πλέω – плыть. Вероятно, имелось в виду πλείων, πλεϊον, πλέων – больший, т.е. полный (полню, заполняю); сравнительно к πολύς – больший (здесь больший – замена «б» - «π» и «ш» - «ς»).
Сюда же «πόλις» - город, совокупность всех граждан, государство (Вейсман отмечает корень πλε и сравнивает с πολύ` .
Само слово «более» вероятно от «поле», в свою очередь «поле» (через «поляна») от «лан» (елань, джайлу, яйла) с изначальным корнем «-л». Ср. «ил».

В итоге - слово "понял" - ПНЛ - PNL - PLN - plain. Зачем здесь "ex" - ума не приложу

И последнее, в словаре 1675 нет понятия «explain» = объяснять, только делать плоским или чистым (забеленный, напр. лист).