Отождествления древних и средневековых династий. Троянская война в
XIII веке н.э. Рим. Греция. Библия. Основные сдвиги в хронологии. Отражение евангельских событий XII века н.э. в
римской истории XI века н.э.

Глава 5.
КОРРЕЛЯЦИЯ ОБЪЕМОВ ЛЕТОПИСЕЙ И ОБНАРУЖЕНИЕ ХРОНОЛОГИЧЕСКОГО СДВИГА НА 300-400 ЛЕТ В РУССКОЙ ИСТОРИИ.
1. ФУНКЦИИ ОБЪЕМОВ ИСТОРИЧЕСКИХ ТЕКСТОВ И ПРИНЦИП АМПЛИТУДНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ.
В данном разделе цитируются фрагменты работы С.Т.Рачева и А.Т.Фоменко. (С.Т.Рачев, доктор физико-математических наук, профессор, специалист в области теории вероятностей и математической статистики, сотрудник института математики Болгарской Академии Наук, в настоящее время работает в США).

1.1. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ ЛЕТОПИСИ. КОРРЕЛЯЦИЯ МАКСИМУМОВ ФУНКЦИЙ ОБЪЕМА.
Здесь описываются результаты, опубликованные С.Т.Рачевым и А.Т.Фоменко в [723], [1140]. Следуя методике А.Т.Фоменко, изложенной в ХРОН1,гл.5, назовем две исторические летописи X и Y ЗАВИСИМЫМИ, если они восходят к общему первоисточнику, описывают приблизительно одни и те же события на одном и том же отрезке времени (A,B) в истории одного и того же региона.
Напротив, две летописи будем считать НЕЗАВИСИМЫМИ, если они описывают события на существенно разных отрезках времени (A,B) и (C,D), или же описывают события в заведомо разных географических регионах. Два отрезка времени мы будем считать СУЩЕСТВЕННО РАЗЛИЧНЫМИ, если на оси времени они пересекаются (то есть имеют общую часть) не более чем на половину их длины. В дальнейшем, для простоты, будем считать, что сравниваются летописи, описывающие отрезки времени одинаковой длины, то есть B-A = D-C.
Пусть летопись X описывает события на отрезке времени (A,B) и параметр t пробегает годы от года A до года B. Как и выше, через X(t) мы обозначим часть летописи, описывающую события, происшедшие в год t. Для краткости, условно назовем фрагменты X(t) - ГЛАВАМИ.
Подсчитаем объем каждого такого фрагмента в каких-либо единицах, например, в строках, или в страницах. В перечисляемых ниже примерах объем глав подсчитывался в строках. Впрочем, выбор единицы измерения здесь несущественен. При статистической обработке мы нормировали объемы глав, деля их на полный объем всей летописи. Таким образом, возможная разница в выборе единиц измерения объема нивелируется. Итак, мы получаем функцию vol X(t), которую называем ФУНКЦИЕЙ ОБЪЕМОВ летописи.
Принцип корреляции точек локальных максимумов графиков объема был сформулирован и экспериментально проверен А.Т.Фоменко в [884]. Главная идея, положенная в основу принципа, и вытекающих из него методик, такова: зависимость или независимость хроник в некоторых случаях можно устанавливать, сравнивая их функции объемов. Огрубляя, можно сказать, что ТОЧКИ ЛОКАЛЬНЫХ МАКСИМУМОВ ГРАФИКОВ ОБЪЕМОВ ЗАВИСИМЫХ ЛЕТОПИСЕЙ ДОЛЖНЫ "КОРРЕЛИРОВАТЬ" (в подходящем точном смысле, см. выше), А ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ ЛЕТОПИСЕЙ "КОРРЕЛЯЦИИ" БЫТЬ НЕ ДОЛЖНО, см. рис.5.1.
В работе [357] общая идея корреляции функции объемов зависимых летописей, и отсутствие корреляции для независимых летописей, была для некоторых случаев распространена В.В.Калашниковым, С.Т.Рачевым и А.Т.Фоменко НА САМИ ФУНКЦИИ ОБЪЕМА, то есть с учетом их АМПЛИТУД.
Поскольку здесь в исследование вовлекались амплитуды графиков, то необходимо было проверить эту усиленную форму принципа корреляции на конкретных летописях, что и было сделано в [357] с участием Н.Я.Ривеса. Предложенные в [357] методы обнаружения зависимых и независимых летописей оказались достаточно эффективными при сравнении хроник примерно ОДИНАКОВОГО ОБЪЕМА. Однако картина начинала "смазываться" при сравнении летописей существенно РАЗНЫХ ОБЪЕМОВ. В настоящей работе выделяется новый класс летописей, для которых верна усиленная форма принципа корреляции амплитуд локальных максимумов.
Принцип корреляции максимумов, открытый А.Т.Фоменко, опирался на то обстоятельство, что разные летописцы, рассказывавшие об одной и той же исторической эпохе, использовали, в основном, ОДИН И ТОТ ЖЕ объем, фонд уцелевшей информации, то есть сохранившейся до их времени. Поэтому они, как показали наши статистические эксперименты, ПОДРОБНЕЕ ОПИСЫВАЛИ ТЕ ГОДЫ, ОТ КОТОРЫХ СОХРАНИЛОСЬ МНОГО ТЕКСТОВ, И МЕНЕЕ ПОДРОБНО - ОСТАЛЬНЫЕ.
Напомним понятие первичного объема информации о событиях эпохи (А,В). Пусть С(t) - объем всех документов, написанных современниками года t о событиях этого года, см. рис.5.2. Пусть теперь X и Y - летописцы, уже не являющиеся современниками эпохи (А,В), но желающие написать ее историю. Пусть M (соответственно N) - год, в который летописец X (соответственно Y) создает хронику эпохи (А,В).
Напомним, что С_M (t) - это объем тех документов, которые уцелели от эпохи (А,В) до момента времени M, то есть до эпохи летописца X. Другими словами, это остаток первичных текстов, дошедших до времени M. График C_M (t) - это график объема уцелевшей информации о событиях эпохи (А,В). Аналогично определяется C_N (t).
Принцип корреляции максимумов вытекает из следующего принципа. Каждый летописец Х, описывая эпоху (А,В), "в среднем" более подробно говорит о годах, где график С_M (t) делает всплески, то есть чем больше документов дошло до летописца Х от эпохи (А,В), тем подробнее он говорит об этом времени, см. рис.5.3.

1.2. БЕДНЫЕ И БОГАТЫЕ ЛЕТОПИСИ. БЕДНЫЕ И БОГАТЫЕ ЗОНЫ ЛЕТОПИСЕЙ.
Определение бедной или богатой летописи интуитивно ясно из рис.5.4. БЕДНОЙ мы назовем летопись, у которой "большинство" объемов vol X(t) - нулевые, то есть большинство лет вообще не описано летописцем. БОГАТОЙ назовем хронику, у которой, напротив, "большинство" объемов vol X(t) отлично от нуля и достаточно велико, то есть летописец сообщает много сведений об эпохе (А,В).
Конечно, в реальных примерах иногда трудно отнести ту или иную летопись к разряду бедных или богатых. Поэтому полезно ввести новые понятия БЕДНОЙ ЗОНЫ и БОГАТОЙ ЗОНЫ данной летописи. На рис.5.5 условно изображен график объема летописи, где начальная ее часть - БЕДНАЯ, а последняя - БОГАТАЯ. Наш опыт изучения конкретных летописей показывает, что следующая ситуация типична: НАЧАЛЬНАЯ ЧАСТЬ длинной летописи - это БЕДНАЯ ЗОНА, а ее заключительная часть - БОГАТАЯ ЗОНА. Встречаются, конечно, летописи, у которых бедная зона расположена "в середине", см. рис.5.6.

1.3. ЗНАЧАЩИЕ И НЕЗНАЧАЩИЕ НУЛИ ФУНКЦИИ ОБЪЕМА.
При изучении конкретной летописи мы будем в качестве самой левой точки А на оси времени брать первый год, для которого vol X(A) отличен от нуля, то есть этот год ОПИСАН летописцем. Нуль графика объема назовем ЗНАЧАЩИМ, если он расположен ПРАВЕЕ первого ненулевого значения графика, см. рис.5.7. Если же нуль расположен ЛЕВЕЕ первого ненулевого значения графика, то назовем такой нуль НЕЗНАЧАЩИМ. Незначащий нуль показывает, что летописец ничего не знает не только о данном годе, но и вообще обо всех годах, ему предшествующих. А значащий нуль показывает, что хотя хронист ничего не знает о данном годе, он все-таки кое-что знает о некоторых ПРЕДЫДУЩИХ годах. Начиная с этого момента мы не будем нормировать функцию объема, поскольку хотим учесть в нашем исследовании величину амплитуд локальных максимумов.

1.4. ПРИНЦИП УВАЖЕНИЯ К ИНФОРМАЦИИ.
Рассмотрим какую-либо историческую эпоху (А,В) и летописца Х, живущего в году M, где M много больше чем В, см. рис.5.8. Описывая события эпохи (A,B), летописец Х вынужден опираться на фонд С_M (t) уцелевшей информации, то есть сохранившейся до его времени. Наша мысль состоит в следующем. Летописец X по-разному относится к бедной и к богатой зонам фонда уцелевшей информации.
Модель, ПРИНЦИП УВАЖЕНИЯ К ИНФОРМАЦИИ мы кратко сформулируем так.
УВАЖЕНИЕ ЛЕТОПИСЦА К УЦЕЛЕВШЕЙ ИНФОРМАЦИИ ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНО ЕЕ ОБЪЕМУ.
Интуитивное обоснование этого принципа понятно. Если какая-то информация сохранилась на "нулевом окружающем фоне", то есть когда справа и слева от нее расположены годы, о которых летописцу вообще ничего неизвестно, то летописец вынужден ВЫСОКО ЦЕНИТЬ эти редкие, чудом дошедшие до него сведения. И он копирует их довольно добросовестно, даже независимо от своего личного отношения к содержанию. Кроме того, в БЕДНОЙ ЗОНЕ фонда уцелевшей информации летописцу в общем-то "не из чего выбирать". Возможный произвол в его действиях ограничен здесь весьма малым объемом уцелевших сведений. Следовательно, летописец в среднем добросовестно воспроизводит АМПЛИТУДЫ функции объема С_M (t) уцелевшей информации внутри бедных ее зон.
Внутри БОГАТЫХ ЗОН ситуация меняется. Здесь летописец сталкивается с необходимостью ОТБОРА нужной ему информации из большого, и даже избыточного, резервуара сведений. Но чем больше объем уцелевшей информации, тем меньше летописец ценит отдельные ее фрагменты. Что часто приводит, как показали наши статистические эксперименты, к искажению амплитуд графиков объема уцелевшего фонда внутри богатых зон. Здесь хронист может также дать волю своим личным пристрастиям - отбирать одни сведения и намеренно "не замечать" другие.

1.5. ПРИНЦИП АМПЛИТУДНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ ГРАФИКОВ ОБЪЕМА В БЕДНЫХ ЗОНАХ ЛЕТОПИСЕЙ.
Извлечем следствия из принципа уважения к информации.
Пусть два летописца X и Y описывают одни и те же события на одном и том же интервале времени (А,В). Каждый из них достаточно хорошо "копирует" график объема БЕДНЫХ ЗОН фонда уцелевшей информации о событиях эпохи (А,В). Следовательно, ГРАФИКИ ОБЪЕМА ЛЕТОПИСИ Х И ОБЪЕМА ЛЕТОПИСИ Y БУДУТ ПОХОЖИ ВНУТРИ БЕДНЫХ ЗОН. Теперь мы можем сформулировать модель - ПРИНЦИП АМПЛИТУДНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ В БЕДНЫХ ЗОНАХ.
а) Если летописи X и Y ЗАВИСИМЫ, то есть описывают примерно одни и те же события, восходят к общему первоисточнику, то графики их объемов vol X(t) и vol Y(t) должны хорошо коррелировать внутри их бедных зон. В то же время, внутри их богатых зон амплитудной корреляции (при наложении графиков) может не быть.
б) Если летописи X и Y НЕЗАВИСИМЫ, то графики их объемов внутри их бедных зон должны быть также независимыми, то есть амплитудная корреляция (при наложении графиков) должна отсутствовать.
То есть, в случае бедных зависимых летописей должны коррелировать не только точки всплесков сравниваемых графиков, но и ИХ АМПЛИТУДЫ.

1.6. ОПИСАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И ФОРМАЛИЗАЦИЯ.
Рассмотрим интервал времени (А,В), введем на нем координату x, изменяющуюся от 0 до В-А, где В-А - это длина интересующего нас временного промежутка. Ясно, что x=t-A. Пусть f(x)=vol X(x) - функция объема летописи Х. Через G(x) обозначим функцию
G(x)=f(0)+f(1)+...+f(x),
то есть "интеграл" функции f от 0 до x. Назовем эту функцию НАКОПЛЕННОЙ СУММОЙ летописи X. Рассмотрим нормированную накопленную сумму F(x) = G(x)/vol X,
где vol X - полный объем летописи X. Нормированная накопленная сумма изображается неубывающим графиком, значения которого нарастают от 0 до 1. Для разных летописей характер этого нарастания - разный.
Рассмотрим новую функцию g(x)=1-F(x). См. рис.5.9. Ее график не возрастает. Опуская математические подробности, сформулируем следующую модель.
ФУНКЦИЯ g(x)=1-F(x) ДОЛЖНА ВЕСТИ СЕБЯ В БЕДНОЙ, НАЧАЛЬНОЙ ЗОНЕ ЛЕТОПИСИ КАК ФУНКЦИЯ exp(-(lambda) x^(alpha) ).
В математической статистике распределения такого вида называются распределениями Вейбулла-Гнеденко.
Следовательно, мы располагаем двумя степенями свободы - параметром lambda и параметром alpha , меняя которые, можем пытаться аппроксимировать функцию 1-F(x). Если это удастся сделать для конкретных летописей, мы подтвердим нашу теоретическую модель.
Проведенный нами статистический эксперимент с реальными летописями показал, что действительно, затухание графика 1-F(x) достаточно хорошо аппроксимируется функцией exp(-(lambda) x^(alpha) ) при подходящем выборе значений lambda и alpha .
В результате мы можем теперь сопоставить каждой летописи, а точнее - начальной, бедной зоне этой летописи, два числа lambda и alpha , отражающие характер поведения функции объема летописи. Назовем lambda - параметром ОБЪЕМА летописи, а alpha - параметром ФОРМЫ летописи.
Оказывается, для нас наиболее важен параметр alpha . Именно он, как показали статистические эксперименты, наиболее хорошо чувствует характер распределения отдельных редких всплесков графика объема внутри бедной зоны летописи. Именно параметр alpha будет в первую очередь указывать нам - зависимы или независимы летописи. Параметр lambda отвечает скорее за объем летописи, он чувствует - насколько летопись богата или бедна.
Итак, нашу гипотезу, статистическую модель можно теперь переформулировать так.
а) Если летописи X и Y ЗАВИСИМЫ, то отвечающие им пары параметров ( alpha_X , lambda_X ) и ( alpha_Y , lambda_Y ) должны быть БЛИЗКИ, при условии, что они вычислены для бедных зон летописей.
б) Если же летописи X и Y НЕЗАВИСИМЫ, то отвечающие им пары параметров ( alpha_X , lambda_X ) и ( alpha_Y , lambda_Y ) должны быть "далеки друг от друга".
Удобно изображать пару чисел (alpha,lambda) точкой на обычной плоскости с декартовыми координатами alpha и lambda . См. рис.5.10.

1.7. ГИПОТЕЗА О ВОЗРАСТАНИИ ПАРАМЕТРА "ФОРМЫ" ЛЕТОПИСИ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ.
Рассмотрим две разные исторические эпохи - с бедным начальным фондом информации, и с богатым начальным фондом. Во втором, богатом случае предположим, что объем этого фонда более или менее постоянен для каждого года. Тогда можно показать, - математические детали мы здесь опускаем, - что значение alpha в первом, бедном случае должно быть МЕНЬШЕ, чем значение alpha во втором, богатом случае [723], [1140]. См. также пункты 1.13 - 1.15. Другими словами, БЕДНЫЕ ПЕРВИЧНЫЕ ФОНДЫ характеризуются МАЛЫМИ значениями alpha , а БОГАТЫЕ ПЕРВИЧНЫЕ ФОНДЫ ИНФОРМАЦИИ характеризуются БОЛЬШИМИ значениями alpha.
Но чем ближе историческая эпоха (А,В) к нашему времени, тем лучше сохраняются первичные фонды информации. Сегодня, например, письменная информация в среднем хранится куда лучше, чем в далеком прошлом. Следовательно, значение параметра alpha должно "в среднем" ВОЗРАСТАТЬ, когда мы перемещаем исследуемый нами отрезок времени (А,В) слева направо по оси времени, то есть ближе к нам.

1.8. СПИСОК И ХАРАКТЕРИСТИКИ ИССЛЕДОВАННЫХ НАМИ РУССКИХ ЛЕТОПИСЕЙ.
1) ПОВЕСТЬ ВРЕМЕННЫ'Х ЛЕТ. См. "Памятники литературы Древней Руси. Начало русской литературы". М., 1978.
Эта известная летопись охватывает события истории Руси в интервале якобы от IX до XII веков н.э. Основная часть летописи описывает эпоху якобы 850-1110 годы н.э., в принятой сегодня датировке. Летопись начинается с бедной зоны длительностью примерно в сто лет. Эта зона тянется якобы от 850 года и кончается якобы 940 годом н.э. Следующая часть летописи, за 1050-1110 годами н.э. уже достаточно богата.
2) НИКИФОРОВСКАЯ ЛЕТОПИСЬ, из группы Белорусско-Литовских летописей. См. Полное Собрание Русских Летописей (сокращенно ПСРЛ), т.35, М., 1980. Для анализа был взят период длиной в 650 лет якобы от 850 до 1450 годов н.э.
3) СУПРАСЛЬСКАЯ ЛЕТОПИСЬ, из группы Белорусско-Литовских летописей. См. ПСРЛ, т.35, М., 1980. Здесь период, снабженный в летописи датами, приходится якобы на 850-1450 годы н.э. Эта летопись, как и Никифоровская, может быть отнесена скорее к БЕДНЫМ текстам, по сравнению с более богатой Повестью Временны'х Лет.
4) АКАДЕМИЧЕСКАЯ ЛЕТОПИСЬ. См. ПСРЛ, т.35, М., 1980. Мы исследовали период 1338-1378 годы н.э. Эта летопись занимает промежуточное положение между бедными и богатыми текстами.
5) ХОЛМОГОРСКАЯ ЛЕТОПИСЬ. См. ПСРЛ, т.33, Л., 1977.
Она охватывает период якобы 850-1560 годы н.э. Эта летопись содержит как богатые, так и бедные зоны.
6) ДВИНСКОЙ ЛЕТОПИСЕЦ. Краткая редакция и полная редакция. См. ПСРЛ, т.33, Л., 1977. Охватывает период 1390-1750 годы н.э. Летопись включает как богатые, так и бедные зоны.
Все эти летописи начинаются с БЕДНЫХ ЗОН, что и неудивительно.
Функции объемов были подсчитаны А.Т.Фоменко. См. ХРОН1,Прилож.5.1.
Среди перечисленных летописей есть ЗАВЕДОМО ЗАВИСИМЫЕ и ЗАВЕДОМО НЕЗАВИСИМЫЕ. Например, ЗАВЕДОМО ЗАВИСИМЫ следующие летописи:
а) Никифоровская и Супрасльская,
б) Повесть Временны'х Лет и Никифоровская летопись, а следовательно, и Супрасльская летопись,
в) полная и краткая версии Двинского летописца.
ЗАВЕДОМО НЕЗАВИСИМЫ, например, следующие тексты:
а) часть Двинского летописца, охватывающая XIV век н.э., и его следующая часть, охватывающая XV век н.э.
Факт зависимости или независимости перечисленных хроник был подтвержден в [884], [868] статистически, на основе принципа корреляции максимумов. См. также выше.

1.9. ИТОГИ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА.
Перечисленные летописи были разбиты на куски, охватывающие приблизительно по сто лет. Каждый из них был обработан по указанной выше методике. В результате были вычислены параметры alpha_X и lambda_X , а также коэффициент корреляции r, показывающий - насколько хорошо соответствующий график exp(-(lambda) x^(alpha) ) аппроксимирует затухающий график 1-F(x).

Все получившиеся пары чисел (alpha,lambda) были изображены точками на плоскости, см. рис.5.11. Здесь по горизонтальной оси отложены значения alpha от 0 до 6. В проведенном нами эксперименте значения alpha , превосходящие 5, пока не встретились. По вертикальной оси отложены значения lambda , но здесь нам пришлось взять скользящий, переменный масштаб. А именно, первая горизонтальная полоса соответствует значениям lambda от 0 до 0,0001, то есть здесь цена деления равна 0,00001. Следующая горизонтальная полоса соответствует значениям lambda от 0,0001 до 0,001, здесь цена деления равна 0,0001. И так далее. Точки на рис.5.11 изображают пары чисел (alpha,lambda), вычисленные нами для летописей, сокращенные условные обозначения которых поставлены рядом с точками.

1.10. ИНТЕРЕСНЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА. ПОДТВЕРЖДЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.
Как мы видим, во всех рассмотренных случаях затухающая функция 1-F(x) хорошо аппроксимируется функцией exp(-(lambda) x^(alpha) ) при подходящем выборе параметров alpha и lambda . См. последний столбец таблицы 5.1, из которого видно, что значения коэффициента корреляции r чрезвычайно близки к 1. Таким образом, наша статистическая модель подтверждается на обследованных русских летописях. В частности, оказывается, что функции объемов больших исторических летописей можно моделировать распределением Вейбулла-Гнеденко. Этот факт сам по себе представляется нам достаточно интересным и полезным.

1.11. СРАВНЕНИЕ ЗАВЕДОМО ЗАВИСИМЫХ РУССКИХ ЛЕТОПИСЕЙ.
Мы должны убедиться, что точки, изображающие ЗАВЕДОМО ЗАВИСИМЫЕ летописи, или их фрагменты, должны быть близки на плоскости (alpha,lambda). Например, Никифоровская и Супрасльская летописи были разбиты на куски: 854-950 годы, 960-1060 годы, 1110-1310 годы, 1236-1340 годы, 1330-1432 годы.
ПРИМЕР 1. Из рис.5.11 отчетливо видно, что соответствующие точки Н1 и С1, то есть первый фрагмент Никифоровской летописи и первый фрагмент Супрасльской летописи, ПРАКТИЧЕСКИ СОВПАДАЮТ на плоскости (alpha,lambda).
ПРИМЕР 2. Точки Н2 и С2 также ОЧЕНЬ БЛИЗКИ.
ПРИМЕР 3. Точки Н3 и С3 ПРАКТИЧЕСКИ СОВПАДАЮТ.
ПРИМЕР 4. Точки Н4 и С4 ПРАКТИЧЕСКИ СОВПАДАЮТ.
ПРИМЕР 5. Точки Н5 и С5, напротив, "расползлись" на плоскости, что указывает здесь на отсутствие амплитудной корреляции. И действительно, здесь мы уже попали в БОГАТУЮ зону летописей, для которой наше правило выполняться уже не обязано.
ПРИМЕР 6. На рис.5.12 показаны графики объемов Никифоровской и Супрасльской летописей. Амплитудная корреляция этих сравнительно бедных по объему летописей усматривается даже визуально и подтверждена нашим численным экспериментом.
ПРИМЕР 7. Следующая пара сравниваемых летописей особенно интересна, так как здесь мы сравниваем БЕДНЫЙ и БОГАТЫЙ зависимые тексты. А именно, ПОВЕСТЬ ВРЕМЕННЫ'Х ЛЕТ и НИКИФОРОВСКУЮ ЛЕТОПИСЬ, или же СУПРАСЛЬСКУЮ ЛЕТОПИСЬ. График объемов Повести Временны'х Лет показан на рис.5.12. Здесь ярко выраженной ВИЗУАЛЬНОЙ АМПЛИТУДНОЙ корреляции нет. Лишь в начале всех трех летописей, - Повести Временны'х Лет, Никифоровской и Супрасльской, - имеется АМПЛИТУДНАЯ корреляция. А затем, начиная примерно с 950 года, она постепенно размывается.
ПРИМЕР 8. Повесть Временны'х Лет была разбита на куски: 854-950 годы, 918-1018 годы, 960-1060 годы, 998-1098 годы. Точка П1, то есть отвечающая периоду 854-950 годов, расположена на плоскости (alpha,lambda) вроде бы далеко от практически совпадающих точек Н1 и С1, соответствующих кускам Никифоровской и Супрасльской летописей за 854-950 годы, см. рис.5.11. Однако напомним, что ОСНОВНЫМ для нас является параметр alpha , то есть параметр формы. Сравнивая значения alpha для точек П1 и пары точек Н1 и С1, то есть попросту проектируя эти точки на горизонтальную ось, мы видим, что все эти три значения alpha очень близки. Следовательно, здесь БОГАТАЯ летопись П1, то есть Повесть Временны'х Лет, действительно ЗАВИСИМА с двумя БЕДНЫМИ хрониками С1 и Н1, то есть с Супрасльской и Никифоровской летописями. Тем самым, наш метод позволяет довольно уверенно обнаруживать ЗАВИСИМОСТЬ между БЕДНЫМИ и БОГАТЫМИ летописями.
ПРИМЕР 9. Точки П3, Н2 и С2 ПРАКТИЧЕСКИ СОВПАДАЮТ, см. рис.5.11.
ПРИМЕР 10. Наконец, сравним точки П4 и Н2, С2, отвечающие летописям, описывающим близкие исторические эпохи. Мы видим, что все эти три точки расположены на плоскости ОЧЕНЬ БЛИЗКО друг к другу. Мы полностью исчерпали всю Повесть Временны'х Лет.
Следовательно, сформулированный нами принцип АМПЛИТУДНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ ЗАВИСИМЫХ ТЕКСТОВ В ИХ БЕДНЫХ ЗОНАХ подтвердился. В некоторых случаях он выполняется даже для богатых зон летописей.

1.12. СРАВНЕНИЕ ЗАВЕДОМО НЕЗАВИСИМЫХ РУССКИХ ЛЕТОПИСЕЙ.
Чтобы не возникало сомнения в заведомой независимости сравниваемых летописей, мы ограничимся текстами, описывающими периоды лишь после 1300 года н.э., то есть ближе к нам.
ПРИМЕР 11. Разобьем, например, Двинской летописец на два куска: 1396-1498 годы н.э. и 1500-1600 годы н.э. У нас не было оснований сомневаться в их независимости. Обращаясь теперь к рис.5.11, мы видим, что соответствующие им точки Д1 и Д2 действительно расположены очень ДАЛЕКО друг от друга, - в диаметрально противоположных концах области, заполненной точками, то есть результатами нашего эксперимента.
ПРИМЕР 12. Рассмотрим Никифоровскую летопись 1110-1210 годов н.э. и ее кусок 1236-1340 гг.н.э. Хотя, согласно принятой сегодня хронологии, они описывают РАЗНЫЕ исторические эпохи, здесь уже нельзя заранее утверждать заведомую независимость этих двух хроник, поскольку они описывают события ранее 1300 года н.э. Тем не менее из рис.5.11 видно, что соответствующие им точки Н3 и Н4 расположены на плоскости (alpha,lambda) ДАЛЕКО друг от друга. Возможно, это указывает на их независимость.
Проведенные нами эксперименты и с другими независимыми летописями (мы опускаем здесь подробности) показали, что ЗАВЕДОМАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ хроник ярко проявляется в значительной удаленности друг от друга изображающих их точек на плоскости (alpha,lambda).

1.13. ВОЗРАСТАНИЕ ПАРАМЕТРА ФОРМЫ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ ДЛЯ РУССКИХ ЛЕТОПИСЕЙ ПОСЛЕ XIII ВЕКА.
Если рассматривать русские летописи, распределенные на всем интервале якобы от IX до XVII веков н.э., то картина этого эффекта просматривается на рис.5.11 недостаточно четко. Однако, ситуация становится куда более понятной, если ограничиться лишь летописями, начиная приблизительно с 1200 года н.э. и ближе к нашему времени. То есть, с того момента, когда появляются основания доверять, хотя бы частично, принятой сегодня хронологии. Плоскость на рис.5.11 разбита на полосы в соответствии с разными масштабами для параметра lambda . Сравним положения точек, попавших внутрь одной полосы и описывающих события позднее 1200 года.
На рис.5.11 отчетливо видно, что для всех трех таких точек, попавших внутрь четвертой полосы, - а именно, для точек Н4: 1236-1340 годы, С4: 1236-1340 годы, Д1: 1396-1498 годы, - ВОЗРАСТАНИЕ параметра alpha со временем действительно имеет место.
В третьей полосе лежат всего лишь две такие точки: Н5: 1330-1432 годы и С6: 1432-1450 годы. Как мы видим, и здесь параметр alpha ВОЗРАСТАЕТ СО ВРЕМЕНЕМ, поскольку точка С6 расположена ПРАВЕЕ точки Н5.
Во второй полосе на рис.5.11 лежат только две такие точки. Это точки С5: 1330-1432 годы и А: 1336-1374 годы. Здесь значения alpha очень близки, практически совпадают. И это понятно, поскольку эпоха, описанная в тексте А, близка к эпохе, описанной в тексте С5.
В первой полосе мы имеем четыре точки. Из них только одна Д2 описывает период после 1200 года, поэтому проверить нашу гипотезу внутри этой полосы не удается. Тем не менее нельзя не отметить, что если рассмотреть формально все эти четыре точки, то видно, что и здесь параметр alpha нарастает с течением времени. Хотя доверять скалигеровско-миллеровской хронологии ранее 1200 года мы, конечно, не можем.
Сравним теперь положения точек Н4: 1236-1340 годы и Н5: 1330-1432 годы, не обращая внимания на значения lambda . Видно, что точка Н5 расположена ПРАВЕЕ точки Н4, то есть параметр alpha ДЕЙСТВИТЕЛЬНО РАСТЕТ СО ВРЕМЕНЕМ.
То же самое мы видим и для точек Д1 и Д2. Здесь точка Д2:
1500-1600 годы расположена ПРАВЕЕ точки Д1: 1396-1498 годы. И тут параметр alpha РАСТЕТ СО ВРЕМЕНЕМ.
И, наконец, взаимное расположение точек С4: 1236-1340 годы, С5: 1330-1432 годы и С6: 1432-1450 годы, тоже подтверждает нашу гипотезу о ВОЗРАСТАНИИ ПАРАМЕТРА alpha со временем.
Обнаруженное нами ВОЗРАСТАНИЕ параметра alpha со временем допускает естественное объяснение. Чем позднее летопись, тем ее функция объема "более равномерна".
И тем не менее, сделать однозначный вывод о возрастании со временем параметра alpha для индивидуальных летописей на основании небольшого числа экспериментов пока нельзя. Здесь нужны дополнительные исследования.

1.14. ВОЗРАСТАНИЕ УСРЕДНЕННОГО ПАРАМЕТРА ФОРМЫ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ ДЛЯ ГРУПП РУССКИХ ЛЕТОПИСЕЙ XIII-XVI ВЕКОВ.
В предыдущем пункте мы в некоторых случаях пытались возможно "слишком точно" измерять достаточно грубые величины. Более естественно рассматривать поэтому не отдельные летописи и их куски, а ГРУППЫ летописей, относящихся примерно к одному периоду, длиной, скажем, 50 или 100 лет. Затем следует сравнивать усредненные значения параметра для этих групп текстов. Рассмотрим тексты, начиная с 1200 года н.э. и ближе к нам. Результат см. на рис.5.13. Здесь точки, то есть отвечающие им летописи, объединены в несколько групп, соответствующих разным историческим периодам.
Группа 1236-1340 годов - две летописи: Н4 и С4.
Группа 1330-1450 годов - четыре летописи: Н5, С5, С6, А.
Группа 1500-1600 годов - одна летопись Д2.
Из рис.5.13 отчетливо видно, что каждая следующая из этих групп расположена ПРАВЕЕ предыдущей, что соответствует ВОЗРАСТАНИЮ параметра alpha со временем. Единственное исключение - летопись Д1: 1396-1498 годов, попавшая рядом с группой летописей 1236-1340 годов. Итак, при "укрупнении картины" эффект возрастания параметра alpha с течением времени проявляется достаточно наглядно.

1.15. ВОЗРАСТАНИЕ УСРЕДНЕННОГО ПАРАМЕТРА ФОРМЫ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ ДЛЯ ГРУПП РУССКИХ ЛЕТОПИСЕЙ ЯКОБЫ IX-XIII ВЕКОВ.
Русские летописи, попадающие в эту эпоху, объединяются в несколько групп, описывающих близкие исторические периоды. А именно:
Группа 854-950 годов - четыре летописи: Н1, Х, С1, П1.
Группа 918-1098 годов - пять летописей: Н2, С2, П2, П3, П4.
Группа 1110-1210 годов - две летописи: С3 и Н3.
На рис.5.13 отчетливо видно, что каждая из этих групп расположена ПРАВЕЕ предыдущей, что снова означает возрастание параметра alpha со временем.
ВЫВОД. Внутри русских летописей, относимых сегодня якобы к IX-XIII векам н.э., а также внутри русских летописей, относимых сегодня к XIII-XVI векам н.э., параметр alpha в среднем монотонно растет со временем, что подтверждает нашу статистическую гипотезу.
Но обнаруженное нами монотонное возрастание параметра alpha со временем позволяет теперь применить этот эффект для установления правильности или ошибочности хронологии тех или иных летописей.
Приведем пример.

1.16. ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ СДВИГ В РУССКОЙ ИСТОРИИ НА 300 ИЛИ НА 400 ЛЕТ.
На рис.5.13 ярко проявляется исключительно интересный феномен.
а) Группа русских летописей якобы 918-1098 годов характеризуется приблизительно теми же значениями параметра alpha , что и группа более поздних русских летописей 1330-1430 годов. Более того, скорость нарастания alpha со временем в обеих этих группах летописей примерно одинакова. На рис.5.13 эти две группы текстов легли таким образом, что их проекции на горизонтальную ось близки. При этом, скалигеровско-миллеровская датировка этих двух групп летописей отличается примерно на 300-400 лет. ТАКИМ ОБРАЗОМ, МЫ ОБНАРУЖИВАЕМ В РОМАНОВСКОЙ ВЕРСИИ РУССКОЙ ИСТОРИИ ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ СДВИГ ПРИМЕРНО НА 300-400 ЛЕТ.
б) Совершенно аналогичный эффект проявляется и при сравнении группы русских летописей якобы 854-950 годов и группы более поздних русских летописей 1236-1340 годов и 1330-1430 годов. Группа якобы 854-950 годов легла на рис.5.13 между группами 1236-1340 годов и 1330-1430 годов. Следовательно, и здесь значения параметра alpha для двух групп летописей, которые сегодня принято разносить во времени примерно на 300-400 лет, снова оказываются весьма близкими. ВНОВЬ ОБНАРУЖИВАЕТСЯ ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ СДВИГ НА 300-400 ЛЕТ В РОМАНОВСКОЙ ВЕРСИИ РУССКОЙ ИСТОРИИ.
в) Абсолютно то же самое мы видим, сравнивая параметр alpha для русский летописей группы якобы 1110-1210 годов и летописей 1500-1600 годов. И здесь значения alpha оказываются достаточно близкими.
ВНОВЬ МЫ ВИДИМ ТОТ ЖЕ ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ СДВИГ ПРИМЕРНО НА 400 ЛЕТ.
ВАЖНЫЙ ВЫВОД. Сравнение значений параметра alpha показывает, что наш статистический эксперимент с большой группой русских летописей ОБНАРУЖИЛ ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ СДВИГ НА 300-400 ЛЕТ ВНУТРИ РОМАНОВСКОЙ
ВЕРСИИ РУССКОЙ ИСТОРИИ. По-видимому, некоторые русские летописи были неправильно датированы. Следовательно, были неправильно датированы и описываемые в них события. В результате некоторые реальные события XIV-XVI веков н.э. "уехали во времени вниз" на 300-400 лет и породили свои "фантомные отражения" в эпохе якобы IX-XIII веков н.э. Далее мы увидим, что этот 300-400-летний сдвиг в русской истории обнаруживается и другими, совершенно независимыми методами.

1.17. ВЫВОДЫ.
1) Сформулирована новая эмпирико-статистическая модель, позволяющая статистически распознавать ЗАВИСИМЫЕ и НЕЗАВИСИМЫЕ летописи. Сформулированы статистические принципы УВАЖЕНИЯ К ИНФОРМАЦИИ и АМПЛИТУДНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ для бедных зон летописей.
2) Наша модель и оба принципа, то есть статистические гипотезы, проверены численным экспериментом на материале русских летописей. На достоверном и надежно датированном материале модель и оба принципа подтвердились.
3) Это позволяет предложить методику распознавания зависимых и независимых летописей.
4) При анализе русских летописей получены такие статистические выводы.
4а. Затухающий график 1-F(x), где F(x) - нормированная накопленная сумма функции объема летописи, можно достаточно хорошо аппроксимировать функцией exp(-(lambda) x^(alpha) ) при подходящем выборе параметров alpha и lambda .
4б. Для ЗАВИСИМЫХ летописей X и Y соответствующие им точки (alpha_X,lambda_X) и (alpha_Y,lambda_Y) на плоскости (alpha,lambda) близки друг к другу.
4в. Для НЕЗАВИСИМЫХ летописей X и Y соответствующие им точки (alpha_X,lambda_X) и (alpha_Y,lambda_Y) на плоскости (alpha,lambda), напротив, далеки друг от друга.
4г. Параметр alpha , а иногда и параметр lambda , обычно характеризует всю группу летописей, описывающих события данного периода. Другими словами, параметр alpha в определенном смысле является "инвариантом исторической эпохи", ее летописей. Этот эффект можно считать установленным для русских летописей XIV-XVII веков, то есть для более или менее достоверно датированных текстов.
5) Наш статистический эксперимент с большой группой русских летописей ОБНАРУЖИЛ ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ СДВИГ НА 300-400 ЛЕТ ВНУТРИ РОМАНОВСКОЙ ВЕРСИИ РУССКОЙ ИСТОРИИ. 3. ПРИНЦИП КОРРЕЛЯЦИИ МАКСИМУМОВ НА МАТЕРИАЛЕ ИСТОЧНИКОВ О СМУТНОМ ВРЕМЕНИ В ИСТОРИИ РОССИИ 1584-1619 ГОДОВ.
В данном разделе цитируются фрагменты работы Н.С.Келлина, Л.Е.Морозовой, А.Т.Фоменко.
(Н.С.Келлин, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, г.Москва. Л.Е.Морозова, доктор исторических наук, сотрудник Института Российской Истории).
Здесь мы покажем - как принцип корреляции максимумов, сформулированный А.Т.Фоменко, проявляется на группе зависимых исторических текстов, относящихся к эпохе смутного времени на Руси конца XVI - начала XVII веков н.э. Мы взяли 20 текстов, каждый из них разбили на погодные фрагменты, то есть на куски, описывающие события отдельных лет. Затем Н.С.Келлин и Л.Е.Морозова подсчитали объемы всех этих "глав". А именно, было подсчитано количество слов в каждой "главе". Полученные результаты были систематизированы в виде единой таблицы 5.2, где для каждого из 20 текстов указан объем его погодных фрагментов от 1584 до 1619 годов.
Вот список исследованных текстов:
1) Повесть о честном житии, 2) Повесть како восхити, 3) Повесть како отмсти, 4) Житие Дмитрия (Тулупова), 5) Житие Дмитрия (Малютина), 6) Сказание о Гришке, 7) Сказание о Федоре, 8) Сказание о самозванце, 9) Повесть Шаховского, 10) Житие Иова, 11) Сказание Авраамия (1-я редакция), 12) Сказание Авраамия (2-я редакция), 13) Хронограф 1617 года, 14) Временник Тимофеева, 15) Повесть Катырева (1-я редакция), 16) Повесть Катырева (2-я редакция), 17) Иное сказание, 18) Пискаревский летописец, 19) Новый летописец.
Позднее были добавлены еще три текста: 20) Извет Варлаама,
21) Бельский летописец и 22) Сказание о Скопине.
Приведем таблицу 5.2 объемов погодных фрагментов для первых 19 текстов. По горизонтальной оси отложены годы, по вертикальной - номера текстов. Годы указаны сокращенно: вместо 1584, 1585, 1586 и т.д. написано 84, 85, 86 и так далее.

Все эти исторические тексты описывают, в основном, одни и те же события, следовательно, они зависимы, опираются на один и тот же фонд уцелевших сведений. Таблица 5.2 показывает, что имеется ярко выраженная корреляция между точками всплесков, то есть локальных максимумов функций объемов этих текстов. Видно, что почти все графики делают всплески практически одновременно, в частности, в годы: 1584, 1587, 1591, 1598.
Приведем теперь результат второго численного эксперимента, в котором к предыдущим 19 текстам были добавлены еще три текста (см. выше), а также были расширены временны'е рамки. А именно, к интервалу 1584-1598 гг.н.э. были присоединены годы от 1598 до 1606. Была построена таблица, аналогичная предыдущей. Сейчас мы приведем таблицу
5.3, в которой символом Х отмечены положения локальных максимумов для всех 22 исторических текстов на интервале от 1584 года до 1606 года н.э.



Отчетливо видно, что все функции объема делают всплески практически одновременно, что объясняется зависимостью этих текстов. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ПРИНЦИП КОРРЕЛЯЦИИ ТОЧЕК ВСПЛЕСКОВ ФУНКЦИЙ ОБЪЕМОВ ЗАВИСИМЫХ ТЕКСТОВ ЗДЕСЬ ПОДТВЕРЖДАЕТСЯ.
Эту зависимость текстов можно выразить численно. Введем следующее "расстояние" между функциями объема vol X(t) и vol Y(t) для двух текстов X и Y, каждый из которых разбит в объединение отдельных погодных фрагментов X(t) и Y(t) соответственно. Напомним, что фрагменты X(t) и Y(t) описывают события лишь одного года t.
Пусть параметр t изменяется на отрезке времени от года A до года
B. Обозначим через t(X,1), t(X,2), ... , t(X,N) - те годы, где график объемов vol X(t) делает всплески, то есть достигает локальных максимумов. Соответственно, через t(Y,1), t(Y,2), ... , t(Y,M) обозначим точки всплесков графика объемов vol Y(t).
Для каждой точки t(X,i) найдем БЛИЖАЙШУЮ К НЕЙ ТОЧКУ из последовательности t(Y,1), t(Y,2), ... , t(Y,M). Пусть это будет некоторая точка t(Y,k). Обозначим через p(i) - расстояние между ними, измеренное в годах, то есть - абсолютную величину разности t(X,i)-t(Y,k). Другими словами, выясняем - какой локальный максимум Y ближе всего расположен к выбранному локальному максимуму X.
Совершенно аналогично, меняя ролями X и Y, для каждой точки t(Y,j) найдем БЛИЖАЙШУЮ К НЕЙ ТОЧКУ из последовательности t(X,1), t(X,2), ... , t(X,N). Пусть это будет некоторая точка t(X,s). Обозначим через q(j) - расстояние между ними, измеренное в годах, то есть - абсолютную величину разности t(Y,j)-t(X,s).
Наконец, в качестве "расстояния между X и Y" мы возьмем следующую сумму:
R(X,Y) = p(1)+p(2)+...+p(N)+q(1)+q(2)+...+q(M).
Смысл расстояния R(X,Y) совершенно прозрачен. Для каждого локального максимума функции vol X(t) мы находим ближайший к нему локальный максимум функции vol Y(t), определяем расстояние между ними в годах, после чего суммируем получившиеся числа. Затем повторяем ту же операцию, поменяв местами хроники X и Y. Складывая полученные числа, получаем R(X,Y). Ясно, что R(X,Y) = R(Y,X).
Если расстояние R(X,Y) равно нулю для некоторой пары текстов X и Y, следовательно, графики их функций объемов делают всплески ОДНОВРЕМЕННО. Чем больше это расстояние, тем хуже коррелируют их точки локальных максимумов. Можно рассматривать также и несимметричное расстояние от X до Y, положив
p(X,Y) = p(1)+p(2)+...+p(N).
Аналогично определяется и несимметричное расстояние от Y до X, а именно,
q(Y,X) = q(1)+q(2)+...+q(M).
Оценим численно степень зависимости между собой исторических текстов 1-22, перечисленных выше. Для этого подсчитаем квадратную матрицу размера 22х22 попарных расстояний R(X,Y), где X и Y независимо друг от друга пробегают все тексты 1-22. Далее подсчитаем гистограмму частот. Для этого рассмотрим горизонтальную ось, на которой отметим целые точки: 0,1,2,3,... и построим следующий график. Подсчитаем - сколько в получившейся ранее матрице R(X,Y) имеется нулей. Полученное число отложим по вертикали в точке с координатой 0. Затем подсчитаем - сколько в матрице R(X,Y) имеется единиц.
Получившееся число отложим по вертикали в точке с координатой 1. И так далее. Получается график, который и называется гистограммой частот. Что можно сказать, изучая получившуюся гистограмму?
Если выбранные для анализа хроники ЗАВИСИМЫ, то большинство попарных расстояний между хрониками должно выражаться МАЛЫМИ ЧИСЛАМИ, то есть хроники должны "быть близки". Другими словами, большинство элементов матрицы R(X,Y) должно быть близко к нулю, "быть мало'". Но в таком случае абсолютный максимум гистограммы частот должен смещаться ВЛЕВО, то есть должно быть особенно много малых частот. И напротив, если среди исследуемых текстов много НЕЗАВИСИМЫХ, то максимум гистограммы частот смещается направо, см. рис.5.14. Здесь увеличивается доля "больших" и "средних" попарных расстояний между хрониками.
Это наблюдение позволяет оценивать степень зависимости или независимости группы хроник путем построения соответствующей гистограммы частот по матрице R(X,Y). А именно, смещение максимума ВЛЕВО указывает на возможную ЗАВИСИМОСТЬ хроник, а смещение максимума НАПРАВО, указывает на возможную НЕЗАВИСИМОСТЬ.
Эта идея была применена для оценки степени зависимости перечисленных выше исторических текстов 1-22. На рис.5.15 показана экспериментальная гистограмма матрицы R(X,Y) для текстов 1-22. В этой матрице оказалось много малых чисел, поэтому максимум гистограммы заметно смещен влево. ЭТО УКАЗЫВАЕТ НА ЗАВИСИМОСТЬ ИСТОРИЧЕСКИХ ТЕКСТОВ 1-22.
Для сравнения построим гистограмму для независимых текстов. В качестве примера мы решили сравнить указанные ниже три хроники А,В,С, с предыдущими текстами 1-22. Три дополнительные хроники таковы:
А: Повесть Временны'х Лет, якобы 850-1110 годы н.э.,
В: Академическая летопись, якобы 1336-1446 годы н.э.,
С: Никифоровская летопись, якобы 850-1430 годы н.э.
Для каждой из них была вычислена функция объемов и найдены все ее локальные максимумы. Вычислим все попарные расстояния R(X,Y), где Х пробегает три хроники А, В, С, а Y пробегает исторические тексты 1-22. В результате получается прямоугольная матрица R(X,Y) размера 3х22. Далее была подсчитана гистограмма частот. Результат показан на рис.5.16. Отчетливо виден СОВЕРШЕННО ДРУГОЙ ХАРАКТЕР гистограммы - ее максимум переместился НАПРАВО. Что указывает на НЕЗАВИСИМОСТЬ двух групп текстов: А, В, С и текстов 1-22. Конечно, внутри каждой из этих групп могут быть зависимые тексты.