В.В.Калашников, Г.В.Носовский, А.Т.Фоменко
ЗВЕЗДЫ ЗОДИАКА
Первоисточник - "Астрономический анализ хронологии. Альмагест. Зодиаки", 2000 г.

Глава 7
ДАТИРОВКА ЗВЕЗДНОГО КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА. СТАТИСТИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОДЫ
7.1 Информативное ядро каталога - это хорошо измеренные именные звезды

Анализ звездного каталога Альмагеста, приведенный в главах 2 - 6, имел своей целью уменьшить широтные ошибки звезд путем компенсации обнаруженной в каталоге систематической ошибки.

В итоге мы подтвердили, что претензия составителя Альмагеста на то, что заявленная им точность измерений равняется 10, СПРАВЕДЛИВА по крайней мере в отношении ШИРОТ БОЛЬШИНСТВА ЗВЕЗД ИЗ ЧАСТИ НЕБА А. Это обстоятельство представляется нам достаточно важным.

Однако датировать каталог Альмагеста можно лишь путем рассмотрения достаточно быстрых и заведомо точно измеряемых звезд. Иначе говоря, для целей датировки нужно иметь оценки индивидуальных ошибок. Полученные нами статистические характеристики не дают никакой информации о том, какие именно звезды измерены точно.

Выбор таких звезд может быть основан лишь на правдоподобных рассуждениях, опирающиеся на известные практические приемы измерения координат звезд в древности. См. главу 1. Известно, что в средние века, да и в настоящее время, базисом для измерения координат большинства звезд служат так называемые ОПОРНЫЕ ЗВЕЗДЫ, число которых малДо по сравнению с числом звезд каталога. >

К сожалению, набора опорных звезд Альмагеста мы не знаем. Известно лишь, что в их число должны входить Регул и Спика. Поскольку измерению их координат посвящены СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ Альмагеста. Однако естественно предположить, что особенно тщательно составитель каталога должен был измерять ИМЕННЫЕ ЗВЕЗДЫ. Таких звезд, как уже говорилось, в Альмагесте двенадцать: АРКТУР, РЕГУЛ, СПИКА, ПРЕВИНДЕМИАТРИКС, КАПЕЛЛА, ЛИРА = ВЕГА, ПРОЦИОН, СИРИУС, АНТАРЕС, АКВИЛА = АЛЬТАИР, АСЕЛЛИ, КАНОПУС.

В работе [234] исследован вопрос о том, какие звезды были опорными для Птолемея при наблюдении планет. Оказывается, что это следующие звезды. Сам Птолемей упоминает их как опорные звезды на эклиптике. Таких звезд четыре: Альдебаран = Tau, Регул, Спика и Антарес. Три из них - именные в Альмагесте. А именно, Регул, Спика, Антарес. По-видимому для наблюдения за планетами Птолемею пришлось добавить к ним и Альдебаран. Все эти четыре звезды, кстати, входят в нашу табл.4.3.

Двенадцать именных звезд Альмагеста - ЯРКИЕ. Они хорошо выделяются среди своих окружений и ОБРАЗУЮТ НА ЗВЕЗДНОЙ СФЕРЕ УДОБНЫЙ БАЗИС. Для нас важно, что среди этих звезд довольно большая часть обладает ЗАМЕТНЫМ СОБСТВЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ. А некоторые - АРКТУР, ПРОЦИОН, СИРИУС - имеют весьма высокую скорость собственного движения.

Семь именных звезд Альмагеста лежат либо в области неба ZodA, либо в непосредственной близости от нее. Это - АРКТУР, СПИКА, ПРОЦИОН, АСЕЛЛИ, ПРЕВИНДЕМИАТРИКС, РЕГУЛ, АНТАРЕС. Девять именных звезд окаймляют область неба A. А именно, к перечисленным семи звездам Альмагеста следует добавить ЛИРУ = ВЕГУ и КАПЕЛЛУ. Таким образом, если даже эти 12 звезд и не являлись опорными, то они должны были измеряться особенно тщательно.

Однако, несмотря на тщательность измерения их координат, звезды эти неравноправны. Наш анализ показал следующее.

1) КАНОПУС является ОЧЕНЬ ЮЖНОЙ ЗВЕЗДОЙ и на результат измерения его координат большое влияние оказывает рефракция. Поэтому, несмотря на тщательность измерения, его координаты в каталоге заведомо содержат большую ошибку, более 1 градуса.

2) Координаты ПРЕВИНДЕМИАТРИКСА, измеренные составителем Альмагеста, нам неизвестны. Известны лишь результаты более поздних измерений [92].

3) Групповые ошибки в окружениях СИРИУСА и АКВИЛЫ не совпадают с ошибками, найденными нами в главе 6 для остальных звезд. Значение этих ошибок мы определить не в состоянии, поэтому и скомпенсировать их невозможно. Следовательно, найти истинные погрешности измерения этих звезд также невозможно.

Таким образом, для целей датировки каталога Альмагеста у нас остается 8 именных звезд, окружения которых обладают единой групповой ошибкой. Во всяком случае, едина ее составляющая . Назовем эти именные звезды ИНФОРМАТИВНЫМ ЯДРОМ звездного каталога.

Естественно выдвинуть следующую гипотезу. ЕСЛИ ЗАЯВЛЕННАЯ СОСТАВИТЕЛЕМ ТОЧНОСТЬ КАТАЛОГА ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ПОДТВЕРЖДЕНА, ТО ОНА ДОЛЖНА ГАРАНТИРОВАННО ДОСТИГАТЬСЯ НА ИНФОРМАТИВНОМ ЯДРЕ КАТАЛОГА, после устранения групповой ошибки.

Эта гипотеза и будет положена нами в основу метода датировки звездных каталогов.

В то же время совершенно не очевидно, можно ли с помощью информативного ядра получить датировку звездного каталога. Несмотря на то, что нам удалось восстановить истинные значения случайных ошибок каталога Альмагеста путем компенсации групповых ошибок, непонятно, - достаточно ли мала остаточная ошибка для вычисления искомой даты. Кроме того, хотя мы и доказали идентичность групповых ошибок в окружениях звезд, входящих в информативное ядро каталога, но отсюда, вообще говоря, не следует, что и для конкретных звезд из ядра каталога индивидуальная ошибка такова же. Конечно, возможность такого рассогласования выглядит неестественной. Центральная звезда окружения, по-видимому, должна иметь тот же характер ошибки, что и ее ближайшее окружение. Однако, строго говоря, гипотеза о подобном рассогласовании имеет право на существование. Не следует также исключать и возможности неточного определения, с погрешностью более 10, координат звезды из информативного ядра каталога.

Все это говорит о том, что если все же будет найден момент времени, в который выполнена выдвинутая нами гипотеза, то это будет служить дополнительным доказательством истинности предпосылок, полученных статистическим путем.

Итак, информативное ядро Альмагеста, состоящее из 12 звезд, таково: АРКТУР, РЕГУЛ, СПИКА, ПРЕВИНДЕМИАТРИКС, КАПЕЛЛА, ЛИРА = ВЕГА, ПРОЦИОН, СИРИУС, АНТАРЕС, АКВИЛА = АЛЬТАИР, АСЕЛЛИ, КАНОПУС.

7.2 Предварительные соображения о датировке каталога Альмагеста по изменению координат именных звезд

В разделе 1 была выделена группа звезд, которую мы назвали информативным ядром Альмагеста. Ее поведение будет подробно рассматриваться далее. Здесь же мы проанализируем поведение совокупности всех 12 именных звезд Альмагеста. Это предварительное изучение, во-первых, наглядно показывает, насколько улучшаются точностные свойства каталога Альмагеста после компенсации в нем систематической ошибки. Во-вторых, дает дополнительное обоснование того факта, что 3 именных звезды из 12, - а именно, Канопус, Сириус и Аквила = Альтаир, - нарушают однородность всей выборки. Выясняется, что по отношению к остальным именным звездам эти три звезды являются "выбросами". Ниже при исследовании всей совокупности 12 именных звезд Альмагеста мы используем координаты Превиндемиатрикс из [92], вычисленные, по-видимому, Галлеем. Обозначим через Bi(t,,) разность между широтой i-й звезды информативного ядра Альмагеста после компенсации систематической ошибки (,) и ее истинной широтой, рассчитанной на эпоху t.

СООБРАЖЕНИЕ 1. Посмотрим, как соотносится точность широт именных звезд каталога Альмагеста с ценой деления шкалы этого каталога (а именно, 10) в предположении, что глобальных систематических ошибок каталог не содержит. Табл.7.1 содержит величины абсолютных широтных невязок всех 12 именных звезд Альмагеста в зависимости от априорной датировки t. В первом столбце после имени звезды указан в скобках ее номер в Альмагесте, то есть номер Байли. Величины широтных невязок даны в дуговых минутах.

Из табл.7.1 видно, что для 7 из 12 именных звезд Альмагеста широтная невязка при всех возможных значениях датировки t превышает границу 10. В столбцах, соответствующих скалигеровской датировке Альмагеста 100 годом н.э. (якобы эпоха Птолемея) и 200 годом до н.э. (якобы эпоха Гиппарха), обращает на себя внимание прежде всего то, что ошибка в координате Арктура исключительно велика, а именно 30--40. Удивительно, что самую заметную и самую яркую звезду северного полушария неба Птолемей (или Гиппарх) наблюдал якобы СУЩЕСТВЕННО ХУЖЕ всех остальных звезд. Далее, из текста Альмагеста следует, что координаты звезды Регул измерялись при составлении каталога несколько раз и что ЭТА ЗВЕЗДА ЗАВЕДОМО ЯВЛЯЛАСЬ ОДНОЙ ИЗ ОПОРНЫХ ТОЧЕК для измерения координат всех остальных звезд каталога. Естественно ожидать, что координаты этой звезды были измерены Птолемеем с максимально возможной точностью и поэтому широтная невязка для нее должна быть меньше 10. Заметим, что для другой яркой звезды на эклиптике, а именно, для Спики, - координаты которой Птолемей также измерял отдельно на первоначальном этапе, а затем использовал ее как опорную (см. главу VII.2 Альмагеста [94]), - широтная невязка не превосходит 5. То есть не превосходит половины цены деления шкалы каталога.

УЧТЕМ ТЕПЕРЬ СИСТЕМАТИЧЕСКУЮ ОШИБКУ, найденную нами в Альмагесте. См. главу 6. Поскольку составляющая этой ошибки меняется слабо при изменении даты t от начала нашей эры до средних веков, а к изменению картина мало чувствительна, то мы возьмем значения 0 = 21,0 = 0. Значение 0 = 21 является средним значением (t) для t из априорного интервала.

Построим табл.7.2, аналогичную табл.7.1, с той лишь разницей, что при вычислении широтных невязок теперь учитывается и компенсируется систематическая ошибка в координатах всех звезд, которая задается параметрами 0 = 21 и 0 = 0.

Сравнение табл.7.2 с табл.7.1 показывает, что точностные свойства координат именных звезд Альмагеста после компенсации систематической ошибки РЕЗКО УЛУЧШИЛИСЬ сразу при всех возможных датировках. Широты Регула и Спики оказываются измеренными с точностью до 5 при любой априорной датировке от начала нашей эры до позднего средневековья. Это вполне соответствует тому вниманию, которое уделено этим двум звездам в тексте Альмагеста. См. Альмагест, главу VII.2 [94]. Более того, при датировке в интервале 6 t 10, - то есть от 900 года н.э. до 1300 года н.э., - невязка по широте для 8 из 12 именных звезд не превосходит 10 - цены деления шкалы каталога. Это как раз те звезды, которые входят в часть A неба, обнаруженную нами в главе 6 при статистическом анализе всей совокупности звезд каталога Альмагеста.

Естественно, приведенные рассуждения требуют уточнения. В частности, необходимо исследовать и другие значения параметров и . Подробные расчеты и более точные утверждения содержатся ниже в этой главе.

СООБРАЖЕНИЕ 2. Дополнительную информацию о дате составления каталога Альмагеста могут дать следующие соображения. Рассмотрим для каждого момента t и для всех значений и совокупность широтных невязок Bi(t,,) некоторого множества E звезд Альмагеста, 1 i n. Построим на этой совокупности эмпирические функции распределения ошибки в широте звезд множества E: Ft,,f(x) = (1/n) #{i: ∣Bi(t,,)∣ x}, где n - число звезд в множестве E. Сравнивая эти функции распределения между собой при различных значениях t,,, можно попытаться подобрать такой набор значений этих параметров, при котором ошибки в широте звезд из совокупности E будут наименьшими, в стохастическом смысле. В качестве меры различия ошибок при различных t,, возьмем среднее значение их разностей.

Эта мера различия может быть наглядно представлена как площадь, заключенная между графиками функций распределения Ft1,1,f1(x) и Ft2,2,f2(x), изображенными на одном чертеже. При этом площадь каждой из областей, заключенных между этими графиками, надо брать с соответствующим знаком, зависящим от того, какая из двух функций ограничивает данную область справа, а какая - слева, рис.7.1. Та функция распределения Ft0,0,f0, которая находится, в среднем, левее остальных функций Ft,,f, отвечает наименьшим ошибкам в широте звезд множества E. Дату t0 и значение систематической ошибки (0, 0) в этом случае естественно рассматривать как приближения для истинной даты наблюдений и реальной систематической ошибки, сделанной наблюдателем.

рис.7.1: Эмпирические функции распределения ошибок в широтах звезд


Проиллюстрируем сказанное на примере другого известного звездного каталога второй половины XVI века - каталога Тихо Браге. Рассмотрим в качестве информативного ядра, множества E, набор из 13 именных звезд в каталоге Тихо Браге. Мы вычислили эмпирические функции распределения Ft,,f при = = 0 и трех различных значениях t: t = 3 - то есть для 1600 года н.э., t = 3, 5 - то есть для 1550 года н.э., и t = 4 - то есть для 1500 года н.э. Результат приведен на рис.7.2. Из этого рисунка хорошо видно, что без учета возможной систематической ошибки в каталоге Тихо Браге ( = = 0) оптимальной датировкой каталога является эпоха t = 3, 5, то есть примерно 1550 год н.э. В самом деле, именно при такой датировке каталога, ошибки в широте выбранных 13 именных звезд будут наименьшими, в указанном выше смысле. Дата 1550 год действительно близка к известному времени составления каталога Тихо Браге, а именно, вторая половина XVI века.

рис.7.2: Эмпирические функции распределения для каталога Тихо Браге; оптимальное значение t0 = 3, 5


Приведем список этих 13 звезд из каталога Тихо Браге. В первую очередь, это РЕГУЛ, СПИКА, АРКТУР, ПРОЦИОН, СИРИУС, ЛИРА = ВЕГА, КАПЕЛЛА, АКВИЛА и АНТАРЕС, являющиеся именными звездами также и в Альмагесте. Кроме того, имеются еще четыре звезды: КАФ = b Cas, ДЕНЕБОЛА = b Leo, ПОЛЛУКС = b Gem и ШИАТ = b Peg.

Рассмотрим теперь эмпирические функции распределения Ft,,f для множества звезд E, состоящего из 12 именных звезд Альмагеста. См. раздел 1. На рис.7.3 приведены графики этих функций для t = 5 - то есть для 1400 года н.э., t = 10 - то есть для 900 года н.э., t = 18 - то есть для 100 года н.э. и t = 20 - то есть для 100 года до н.э., при различных . Значение везде взято равным нулю, поскольку к изменению картина мало чувствительна. Значения t = 10, то есть 900 год н.э., и = 21 являются оптимальными. То есть, приводят к наименьшим ошибкам.

рис.73: Эмпирические функции распределения Ft,,f для 12 именных звезд Альмагеста. Значение всюду равно нулю

Полученная картина поведения графиков Ft,,f для Альмагеста мало чувствительна к изменениям в составе именных звезд. Приведем для сравнения эмпирические функции распределения для использованных в примере с каталогом Тихо Браге 13 звезд, взяв на этот раз их координаты из Альмагеста, рис.7.4. Значения t = 10, = 21 остаются оптимальными и для этого списка звезд. На рис.7.4 отчетливо проявляется разница между значениями = 21 и = 0, уже отмеченная выше. А именно, вся совокупность графиков, соответствующих значению = 21, лежит левее, - и, следовательно, отвечает меньшим ошибкам, - чем совокупность графиков при = 0. Другими словами, значение = 21 "лучше", чем = 0, при всех датах t из априорного интервала.

рис.7.4: Эмпирические функции распределения для Альмагеста по 13 ярким именным звездам при t = 1, 5, 10, 15, 20. Сплошные линии: = 21; штриховые линии: = 0

СООБРАЖЕНИЕ 3. В заключение обсудим вопрос о возможности расширения списка именных звезд Альмагеста, как основы для датировки по собственным движениям. Но так, чтобы точностные свойства координат (или хотя бы только широт) расширенного списка звезд не ухудшались. На первый взгляд представляется естественным взять в качестве такого расширения список ВСЕХ звезд, получивших К НАСТОЯЩЕМУ ВРЕМЕНИ собственные имена, табл.1.2. Имена звездам давали в основном в средние века, но продолжали делать это и в XVII - XIX веках. Не исключено, что многие из них имели особое значение для составителя каталога Альмагеста. Далее, мы выберем из списка в табл.1.2 не все звезды, а лишь те, имена которых набраны в [84] большими буквами. Мы сохранили это выделение большими буквами и в нашей табл.1.2. Большими буквами в [84] были набраны наиболее знаменитые из именных звезд. Таких звезд оказалось 37. Они перечислены в табл.7.3.

рис.7.5: Среднеквадратичное отклонение по 37 звездам Альмагеста, перечисленным в табл.7.3, как функция априорной датировки. При подсчете отклонения компенсировалась систематическая ошибка каталога Альмагеста. Кроме того, искомое среднеквадратичное отклонение минимизировалось по вариациям = stat ± 5; b = 0 ± 30

Оказалось, однако, что такое расширение информативного ядра Альмагеста РЕЗКО УХУДШАЕТ ТОЧНОСТЬ координат выборки. И что особенно важно, ухудшается точность широт. Рассмотрим "расширенное ядро", состоящее из 37 звезд Альмагеста, перечисленных в табл.7.3. На рис.7.5 видно, как ведет себя среднеквадратичная невязка для этих 37 звезд в зависимости от априорной датировки Альмагеста. При подсчете этой невязки мы, для повышения надежности, допускали вариацию расчетной величины систематической ошибки по в пределах ±5 с шагом в 1 минуту. По параметру b был сделан перебор в пределах ±30 с шагом в 1 минуту. Вычислялось минимальное значение среднеквадратичного отклонения по указанным вариациям параметров и b. Из получившегося графика хорошо видно, что минимум хотя и достигается около 400 года н.э., но выражен ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО СЛАБО. Минимальное значение среднеквадратичной невязки составляет около 18 минут. Если мы допустим вариацию этого значения в пределах 2 минут, то есть всего на 10%, то получаем интервал "датировок"длиной в 1800 лет (!) от 600 года до н.э. до 1200 года н.э. Совершенно ясно, что этот результат неинтересен. Причина очевидна - в рассматриваемом списке 37 звезд средняя точность измерений Птолемеем слишком низка. Она явно недостаточна, чтобы можно было датировать каталог по собственным движениям в этой группе звезд. Причем, такая размытая картина получается при анализе широт, которые в каталоге Альмагеста, как мы знаем, более точны, чем долготы. По долготам картина получается еще более размытой.

рис.7.6: По вертикальной оси - количество звезд из списка 37 звезд Альмагеста (см. табл.7.3), для которых отклонение по широте не превосходит 10 минут. Вдоль горизонтальной оси - априорная датировка каталога Альмагеста

рис.7.7: По вертикальной оси - количество звезд из списка 37 звезд Альмагеста (см. табл.7.3), для которых отклонение по широте не превосходит 20 минут. Вдоль горизонтальной оси - априорная датировка каталога Альмагеста

На рис.7.6, рис.7.7 приведены графики зависимости от априорной датировки Альмагеста количества звезд из "расширенного ядра", расчетная ошибка которых по широте не превышает, соответственно, 10 и 20 минут. Ошибка рассчитывалась после компенсации систематической ошибки = 20. На обоих графиках наблюдаются колебания вокруг приблизительно постоянного значения на всем рассматриваемом интервале времени. В 10-минутную окрестность по широте в разные годы попадает от трех до тринадцати звезд. В 20-минутную окрестность попадает от 11 до 16 звезд. Никакой надежной информации о наиболее вероятной датировке каталога из этих графиков извлечь не удается.

рис.7.8: Среднеквадратичное отклонение по 37 звездам Альмагеста, перечисленным в табл.7.3, и имеющим не более чем 30-минутное отклонение по широте при данной априорной датировке. График построен как функция априорной датировки Альмагеста. При подсчете отклонения компенсировалась систематическая ошибка каталога Альмагеста. Кроме того, искомое среднеквадратичное отклонение минимизировалось по вариациям = stat ± 5; b = 0 ± 30

На рис.7.8 мы приводим график зависимости среднеквадратичной невязки, аналогичной графику на рис.7.5. Однако на этот раз при подсчете невязки учитывались лишь те звезды, которые при данной априорной датировке Альмагеста получили отклонение по широте менее 30 минут. Видно, что график состоит из кусков пологих парабол. Они имеют минимумы в разные годы на оси времени. Это означает, что в различных частях списка из 37 звезд соответствующие параболы имеют точки минимума, разбросанные по всему историческому интервалу. Обнаружившаяся неустойчивость точек минимума говорит о низкой точности датировки таким способом. Дело в том, что точки минимума многих парабол лежат далеко от истинной даты составления каталога. Поэтому при изменении состава звезд, эти минимумы хаотично распределяются по всему историческому интервалу.

В целом график на рис.7.8 имеет исключительно слабо выраженный минимум в районе 700 - 1600 годов н.э. Для надежной датировки он непригоден.

Мы рассматривали также и другие возможности расширения информативного ядра Альмагеста. Например, на основе яркости звезд. Почти все они привели к РЕЗКОМУ УХУДШЕНИЮ ТОЧНОСТИ координат звезд и к практическому исчезновению зависимости характеристик расширенной совокупности от датировки наблюдений. Однако выяснилось, что информативное ядро все-таки допускает естественное расширение без значительного падения точности. Этот вопрос подробно обсуждается ниже.

7.3 Статистическая процедура датировки
7.3.1 Описание процедуры датировки

Гипотеза об измерении именных звезд Альмагеста в пределах заявленной Птолемеем точности в 10 минут позволила нам в разделе 2 дать весьма приблизительный ответ, когда мог быть написан Альмагест. Было показано, что конфигурация информативного ядра каталога Альмагеста меняется с течением времени достаточно быстро для того, чтобы определить дату составления каталога. Поэтому осмысленной стала и постановка задачи об ОПРЕДЕЛЕНИИ ИНТЕРВАЛА ВОЗМОЖНОЙ ДАТИРОВКИ.

Естественной в рамках развиваемого подхода представляется следующая процедура, которую назовем СТАТИСТИЧЕСКОЙ. Она основана на гипотезе, что именные звезды Альмагеста были измерены с заявленной 10-минутной точностью по широте. Кроме того, мы будем опираться на найденные в главе 6 статистические характеристики групповых ошибок. Статистическая процедура датирования состоит в следующем.

А) Зафиксируем уровень доверия 1 - .

Б) Рассмотрим момент времени t и доверительный интервал I() для составляющей statZodA(t) групповой ошибки в области ZodA. Определим величину
Δ(t) = min Δ(t,g, f),
(7.1)



где минимум берется по всем ∈ I() и всевозможным значениям . При этом величина

задает максимальную по всем звездам из информативного ядра невязку, рассчитанную для априорной датировки t. При этом параметры (, ) задают "подкрутку небесной сферы", рис.3.14.

В) Если найденная величина (t) не превосходит заявленной точности каталога в 10, то момент времени t следует рассматривать как возможную дату составления каталога. В противном случае каталог не может датироваться эпохой t.

Естественно, результат применения данной процедуры датирования зависит от субъективного выбора уровня доверия 1 - . Поэтому ее следует проверить на устойчивость относительно вариаций . Это будет сделано ниже.

7.3.2 Зависимость минимаксной невязки от t,, для Альмагеста

Для информативного ядра из 8 звезд Альмагеста мы изобразим графически зависимость минимаксной широтной невязки (t,,) от всех трех переменных. Эта зависимость показана в виде последовательности диаграмм на рис.7.9 и рис.7.10. Здесь каждая диаграмма соответствует некоторому фиксированному моменту времени t. Приводятся диаграммы для t = 1...18. Для других значений t соответствующие диаграммы оказываются пустыми, как в случае t = 1. Напомним, что значение t = 1 соответствует 1800 году н.э., а t = 18 - началу нашей эры. На диаграммах по горизонтальной оси отложены значения , а по вертикальной оси - значения .
рис.7.9: Показана зависимость (t,,) при значениях времени t от 1, то есть от 1800 года н.э., до t = 18, то есть до 100 года н.э. Область с двойной штриховкой соответствует 10. Область с обычной штриховкой соответствует 10 < 15. Область, заполненная точками, соответствует 15 < 20. В остальной части рисунков > 20. Жирной точкой отмечены параметры statZodA(t), statZodA(t)
рис.7.10: Продолжение предыдущего рисунка


Двойной штриховкой на диаграммах выделена область, где (t,,) 10.

В заштрихованной области выполняется неравенство 10 < (t,,) 15.

В области, заполненной точками, выполняется неравенство 15 < (t,,) 20.

В остальной части рисунков выполняется неравенство (t,,) > 20. На всех рисунках жирная точка соответствует параметрам statZodA(t), statZodA(t).

Из приведенных диаграмм ясно видно, что "ПЯТНО"С ДВОЙНОЙ ШТРИХОВКОЙ, СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ МАКСИМАЛЬНОЙ ШИРОТНОЙ НЕВЯЗКЕ ВОСЬМИ ИМЕННЫХ ЗВЕЗД АЛЬМАГЕСТА, НЕ ПРЕВОСХОДЯЩЕЙ 10, СУЩЕСТВУЕТ ЛИШЬ ПРИ МОМЕНТАХ ВРЕМЕНИ 6 t 13. ТО ЕСТЬ В ИНТЕРВАЛЕ ОТ 600 ДО 1300 ГОДОВ Н.Э.

"Пятно"с простой штриховкой, соответствующее максимальной широтной невязке, не превышающей 15, существует лишь при 4 t 16. Максимальных размеров эти "пятна"достигают при 7 t 12. При t > 18 допустимая область изменения параметров, определяемая соответствующими доверительными интервалами, НЕ СОДЕРЖИТ НИ ОДНОЙ ТОЧКИ, где (t,,) 20. Это, в частности, относится и к скалигеровской эпохе Птолемея, и к скалигеровской эпохе Гиппарха. Более того, при попытке датировать каталог Альмагест эпохой 100 года н.э. и ранее, минимакс (t) широтной невязки БОЛЕЕ ЧЕМ В ДВА РАЗА ПРЕВЫШАЕТ ЗАЯВЛЕННУЮ ТОЧНОСТЬ каталога Альмагеста в 10 минут. Для априорных датировок ранее 100 года н.э. величина (t) превосходит даже среднеквадратичную остаточную ошибку звезд из частей А,ZodA, В,ZodB и близка к среднеквадратичной остаточной ошибке в Альмагесте для части неба М. То есть для неярких звезд Млечного Пути. Где наблюдения таких звезд, сливавшихся с богатым звездным фоном, были весьма затруднены и конечно должны были иметь сравнительно низкую точность. Совершенно недопустимую для ярких опорных изолированных звезд информативного ядра. Следовательно, датировки Альмагеста эпохой около 100 года н.э. и ранее придется безусловно отбросить. Как противоречащие каталогу Альмагеста.

Итак, рис.7.9 и рис.7.10 показывают, что в допустимой области по (, ) ПРИНЦИПИАЛЬНО НЕЛЬЗЯ ДОБИТЬСЯ, чтобы широтная невязка у всех 8 звезд информативного ядра Альмагеста была менее 10 в эпоху ранее 600 года н.э. Если поднять допустимый уровень до 15, то этого уровня невязки нельзя достичь, датируя Альмагест ранее 300 года н.э.

7.3.3 Результат статистической датировки каталога Альмагеста

Для фиксированной эпохи t и для = 10 определим область изменения St() параметра следующим образом
(7.2)

Множество St() может быть и пустым. Рассмотрим при фиксированном t пересечение множества St() с доверительным интервалом I(), построенным вокруг значения statZodA(t). Если данное пересечение не пусто, то в соответствии со статистической процедурой датировки объявим момент времени t возможной эпохой составления каталога Альмагеста. Совокупность таких моментов t назовем ИНТЕРВАЛОМ ВОЗМОЖНЫХ ДАТИРОВОК каталога Альмагеста.

Результат расчетов St() для Альмагеста наглядно представлен на рис.7.11. Точками заполнено объединение множеств St() при = 10. Объемлющий контур соответствует значению = 15. Он нам понадобится позже.

Использованный здесь график функции statZodA(t) был вычислен в главе 6, рис.6.8. Величины доверительных интервалов I(), соответствующие различным , можно найти в табл.6.3. Из рис.7.11 следует, что при = 0, 1, = 0, 05, = 0, 01, = 0, 005 ИНТЕРВАЛ ВОЗМОЖНЫХ ДАТИРОВОК ОКАЗЫВАЕТСЯ ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ: 6 t 13.

Если перевести полученный нами результат датировки в обычные годы, то мы увидим, что ИНТЕРВАЛ ВОЗМОЖНЫХ ДАТИРОВОК КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА НАЧИНАЕТСЯ В 600 ГОДУ Н.Э., А ЗАКАНЧИВАЕТСЯ В 1300 ГОДУ Н.Э.
рис.7.11: Результат статистической процедуры датировки каталога Альмагеста по его восьми именным звездам

7.3.4 Обсуждение полученного результата

Длина получившегося интервала возможных датировок каталога Альмагеста составляет 700 лет: 1300 - 600=700. Сравнительно большая величина интервала датировок объясняется несколькими причинами.

Первая была уже названа. Она связана с низкой точностью каталога Альмагеста, даже если брать заявленную Птолемеем точность в 10 минут. Такая точность не позволяет датировать каталог в узком интервале времени. Дело в том, что даже наиболее быстрая из рассматриваемых 8 именных звезд (Арктур) изменяет свою широту на 10 приблизительно за 260 лет. Это большая величина. Для других звезд ядра она еще больше.

Вторая причина связана с тем, что в своих расчетах мы использовали доверительные интервалы лишь для составляющей групповой ошибки. При этом мы минимизировали величину (t,,) по ВСЕВОЗМОЖНЫМ значениям . См. формулы (7.3.1) и (7.3.2). Ясно, что этот подход приводит к расширению интервала датировок для каталога Альмагеста. В самом деле, если бы можно было считать (так же, как и ) групповой ошибкой, то следовало бы параметр выбирать из доверительного интервала. Это привело бы к увеличению величины min f(t,,), а потому - к сужению интервала возможных датировок. Однако, как было отмечено выше, мы не имеем достаточных оснований для того, чтобы считать групповой ошибкой в рассмотренных нами совокупностях звезд Альмагеста.

7.4 Датировка каталога Альмагеста по расширенному информативному ядру

Вопрос о расширении информативного ядра каталога Альмагеста уже обсуждался выше в конце раздела 7.2. Было обнаружено, что путем бессистемного увеличения ядра за счет числа ярких и быстрых звезд получить содержательную датировку не удается. Мы уже понимаем, что это объясняется низкой средней точностью измерений Птолемея даже ярких звезд. Вопрос о том, по какому принципу можно расширить 8-звездное информативное ядро Альмагеста, не потеряв при этом точности широт, оставался пока нерешенным.

Нам удалось найти решение этой задачи. Задумаемся, как Птолемей измерял координаты звезд. В истории астрономии хорошо известно, что такие измерения производились путем привязки наблюдаемых объектов к ОПОРНЫМ, базисным ярким звездам. Координаты которых измерялись особо тщательно и составляли основу для всех последующих измерений. Какие звезды Птолемей брал за опорные, он прямо не пишет. Из текста Альмагеста можно извлечь, что такими базисными звездами являлись для него по крайней мере Регул, Спика, Антарес и, возможно, Альдебаран. См., например, [234], с.247. Три из них, а именно, Регул, Спика и Антарес, снабжены в Альмагесте собственными именами со словесной формулой "vocatur...", то есть "именуемая ...". См. выше. Мы высказали мысль, что именные звезды Альмагеста именно потому и получили собственные имена в Альмагесте, что служили базисом для наблюдений Птолемея. Эта мысль подтвердилась. Мы доказали, что в частях неба A,ZodA,B,ZodB именные звезды Альмагеста действительно имеют эталонную для Птолемея точность в 10 минут. По крайней мере для широт. Для долгот это не так, но, как уже отмечалось выше, долготы наблюдать сложнее, чем широты. Кроме того, точность долгот скорее всего была потеряна при пересчетах каталога Альмагеста с целью приведения его к другим эпохам. Поэтому долготы - не показатель точности, которой реально достигал Птолемей в своих измерениях. Таким показателем могут быть лишь широты.

Для остальных частей неба нам доказать этого не удалось, поскольку не удалось надежно определить величины систематических ошибок. Поэтому при поиске возможных расширений информативного ядра мы также ограничимся лишь звездами из частей неба A,ZodA,B,ZodB.

Зададимся вопросом, какие звезды, кроме опорных, то есть, так сказать, "звезд первого уровня", Птолемей должен был измерить тоже очень хорошо? Естественно те, которые находятся НЕДАЛЕКО ОТ ОПОРНЫХ. Хотя бы потому, что измерения Птолемея скорее всего делались "по цепочкам". Сначала измерялись координаты звезд, близких к опорным. Отталкиваясь от них, он продвигался дальше. И так далее, шаг за шагом. Сегодня мы понимаем, что при таком способе измерений "по шагам"дисперсия случайной ошибки неизбежно увеличивается. То есть, растет погрешность измеренных координат. Чем дальше звезда отстоит от опорных, тем, в среднем, хуже будет она измерена.

Поэтому разумно попытаться расширить информативное ядро, добавляя к нему "звезды второго уровня", то есть достаточно яркие и хорошо отождествленные звезды, расположенные сначала совсем рядом с опорными. Потом следует добавить к ним звезды "третьего уровня", находящиеся несколько дальше. Потом - звезды "четвертого уровня". лежащие еще дальше. И так далее. Если мы увидим, что при этом средняя точность широт будет падать МЕДЛЕННО, оставаясь для близких звезд практически такой же, как и для опорных, мы тем самым подтвердим нашу догадку, что выбранные нами звезды "первого уровня"ДЕЙСТВИТЕЛЬНО БЫЛИ ОПОРНЫМИ. А кроме того, мы получим возможность РАСШИРИТЬ "датирующее ядро каталога". И проверить, а возможно и уточнить, нашу датировку.

Эту идею мы реализовали следующим образом. Прежде всего мы ограничились теми звездами, которые абсолютно надежно отождествляются в Альмагесте и имеют заметное собственное движение. Они перечислены в табл.4.3. Всего таких звезд 68. Напомним, что информативное ядро из восьми звезд было целиком включено в этот список.

В качестве звезд "первого уровня"были взяты восемь звезд информативного ядра. Для них была подсчитана среднеквадратичная невязка по широте после компенсации систематической ошибки. При этом, систематическая ошибка была найдена в главе 6. Мы допускали вариацию этой ошибки в пределах ±5 с шагом в 1 минуту. По параметру b осуществлялся перебор в границах ±20 с шагом в 1 минуту. В качестве среднеквадратичной невязки для каждой априорной датировки каталога мы брали минимальное значение, полученное указанными вариациям параметров и b. В результате получилась зависимость среднеквадратичной невязки от априорной датировки каталога Альмагеста. Для восьми звезд информативного ядра, то есть звезд "первого уровня", получившийся график приведен на рис.7.12.
рис.7.12: График среднеквадратичной невязки по широте после компенсации систематической ошибки для восьми звезд "первого уровня". Это восемь звезд информативного ядра каталога Альмагеста. Именно они, как показывают наши расчеты, были опорными точками для наблюдений Птолемея. Среднеквадратичная невязка минимизировалась по вариациям параметра в пределах stat ± 5, и по вариациям параметра b в пределах 0 ± 20. Минимум графика достигается в 900-1000 годах н.э. на уровне 5 - 6 минут дуги. В якобы птолемеевскую эпоху II века н.э., невязка достигает 12, что в два раза больше минимального значения. В якобы гиппарховскую эпоху II века до н.э. невязка - около 14


Минимум графика достигается в 900 - 1000 годах н.э. на уровне 5 - 6 минут дуги. Это означает, что на опорных звездах гарантированная точность измерений Птолемея по широте составляла 10- 15. И действительно, все звезды информативного ядра, как мы видели, измерены с точностью не хуже 10 по широте. Что в точности соответствует выбранной Птолемеем цене деления шкалы - 10.

Что же касается эпохи II века н.э., то здесь невязка достигает 12. Это - в два раза больше минимального значения. Что делает начало н.э. практически недопустимой эпохой для каталога Альмагеста. Не говоря уж о более ранней "эпохе Гиппарха". Поскольку в эпоху II века до н.э. невязка составляет около 14.

В качестве звезд "второго уровня"мы взяли все звезды из табл.4.3, отстоящие от ближайшей звезды информативного ядра не более чем на 5 градусов. Таких звезд оказалось 9, включая информативное ядро. Добавилась звезда 47 Cnc (No. 3461 в каталоге BS4, BS5). Получившийся график среднеквадратичной невязки см. на рис.7.13. Видно, насколько резко меняется картина, как только мы к восьми звездам информативного ядра, то есть к опорным, добавляем всего лишь одну звезду. Причем близкую к ним, надежно отождествленную, хорошо видимую невооруженным глазом, и к тому же изолированную звезду. Это говорит о том, что опорные звезды измерялись Птолемеем многократно и особо тщательно. Остальные измерялись путем простых однократных наблюдений относительно опорных.

рис.7.13: График среднеквадратичной невязки по широте после компенсации систематической ошибки для 9 звезд "второго уровня", отстоящих от опорных не более чем на 5o. Среднеквадратичная невязка минимизировалась по вариациям параметра в пределах stat ± 5, и по вариациям параметра b в пределах 0 ± 20. Минимум графика достигается в 1000 - 1100 годы н.э. на уровне 9 - 10 минут дуги. В эпоху II века н.э. и ранее среднеквадратичная невязка составляет не менее 15


Тем не менее, график на рис.7.13 все еще достаточно информативен. Минимум графика невязки достигается в 1000 - 1100 годы н.э. на уровне 9 - 10 минут дуги. В эпоху II века н.э. и ранее среднеквадратичная невязка существенно больше. В 100 году н.э. она равна 15, что составляет более 150% от минимального значения.

В качестве звезд "третьего уровня"были взяты все звезды из табл.4.3, отстоящие от информативного ядра не более чем на 10 градусов. Таких звезд оказалось 12, включая информативное ядро. Кроме 47 Cnc к информативному ядру добавились 14o Leo (No. 3852), 8j Boo (No. 5235), 26 Sco (No. 6241).

График невязки показан на рис.7.14. Он практически не отличается от предыдущего шага. Это и понятно. Мы находимся все еще очень близко к информативному ядру. При этом само ядро составляет 3/4 от количества звезд в выборке. Минимум графика достигается в 900 году н.э. на уровне 11. В эпоху 100 года н.э. и ранее невязка составляет 14 или больше. Исходя из рис.7.14, наиболее вероятной датировкой каталога Альмагеста оказывается интервал приблизительно от 400 до 1400 годов н.э.

рис.7.14: График среднеквадратичной невязки по широте после компенсации систематической ошибки для 12 звезд "третьего уровня", отстоящих от опорных не более чем на 10o. Среднеквадратичная невязка минимизировалась по вариациям параметра в пределах stat ± 5, и по вариациям параметра b в пределах 0 ± 20. Минимум графика достигается в 900 году н.э. на уровне 11. В эпоху 100 года н.э. и ранее невязка составляет 14 или больше


В качестве звезд "четвертого уровня"мы взяли все звезды из табл.4.3, отстоящие от информативного ядра не более чем на 15 градусов. Таких звезд оказалось 15. К предыдущим добавились звезды 78b Gem (No.2990), 79z Vir (No.5107), 24m Leo (No.3905). График невязки см. на рис.7.15. Минимум графика достигается в 800 - 900 годы н.э. на уровне 10- 11. В эпоху 100 года н.э. невязка равна 12. Таким образом, значение минимальной среднеквадратичной невязки почти не меняется. По-видимому при расстояниях до 15o приборы Птолемея позволяли измерять координаты звезды все еще относительно самих опорных звезд, а не "по цепочке".

рис.7.15: График среднеквадратичной невязки по широте после компенсации систематической ошибки для 15 звезд "четвертого уровня", отстоящих от опорных не более чем на 15o. Среднеквадратичная невязка минимизировалась по вариациям параметра в пределах stat ± 5, и по вариациям параметра b в пределах 0 ± 20. Минимум графика достигается в 800 - 900 годы н.э. на уровне 10-11. В эпоху 100 года н.э. невязка равна 12

Наконец, в качестве звезд "пятого уровня"были взяты звезды из табл.4.3, удаленные от информативного ядра не более чем на 20 градусов. Таких звезд оказалось 22, включая информативное ядро. Добавились звезды 112b Tau (No. 1791), 60i Gem (No. 2821), 68 Leo (No. 4357), 29 Vir (No. 4825), 27 Boo (No. 5435), 3b CrB (No. 5747), 5 CrB (No. 5793).

График невязки показан на рис.7.16. Минимум графика достигается в 400 - 800 годы н.э. на уровне 22- 23. Это уровень среднеквадратичной ошибки, характерный для каталога Альмагеста в целом. То есть, влияние близости опорных звезд на расстоянии 15o --20o уже исчезает. График практически выровнялся за счет заметного понижения точности измерений на таком расстоянии от опорных звезд. Невязка в эпоху начала н.э. составляет 23, в эпоху V века до н.э. - 24. И так далее.

рис.7.16: График среднеквадратичной невязки по широте после компенсации систематической ошибки для 22 звезд "пятого уровня", отстоящих от опорных не более чем на 20o. Среднеквадратичная невязка минимизировалась по вариациям параметра в пределах stat ± 5, и по вариациям параметра b в пределах 0 ± 20. Минимум графика достигается в 400 - 800 годы н.э. на уровне 22--23. Это уровень, характерный для каталога Альмагеста в целом. То есть, влияние близости опорных звезд на расстоянии 15o - 20o уже исчезает. График практически выровнялся за счет заметного понижения точности измерений на таком расстоянии от опорных звезд. Невязка в эпоху начала н.э. составляет 23, в эпоху V века до н.э. - 24. И так далее

На последнем шаге наблюдается резкое падение точности измерений. Среднеквадратичная ошибка возросла в два раза. Поэтому, прежде чем двигаться дальше при расширении информативного ядра каталога, будем подсчитывать среднеквадратичную невязку лишь по тем звездам, которые при данной априорной датировке каталога Альмагеста получили не более чем 30-минутную ошибку по широте. Это позволит нам избавиться от заведомо очень плохо измеренных Птолемеем звезд. Естественно, отбор таких звезд зависит от априорной датировки каталога. При одной априорной датировке какая-то звезда может оказаться измеренной хорошо. А при другой датировке - плохо. Или наоборот.

Мы будем продолжать учитывать обнаруженную систематическую ошибку в каталоге Альмагеста и варьировать и b в тех же пределах, как и выше.

Количество звезд, вошедших в выборку после такого отбора, мы будем изображать на том же графике, что и невязку. Получившаяся картина представлена на рис.7.17. Видно, что минимум среднеквадратичной невязки СНОВА УПАЛ до 9 в 800 - 900 годах н.э. А в эпоху якобы Птолемея и Гиппарха, то есть от 400 года до н.э. до 100 года н.э., значения невязки МАКСИМАЛЬНЫ - около 12. Отметим, что получившиеся значения невязки в 9 в области априорных датировок 800 - 900 годы н.э., хорошо соответствуют ограничению на невязку в 30, которое мы задали заранее. Поскольку нормально распределенная случайная величина со среднеквадратичным отклонением порядка 9- 10, с вероятностью близкой к единице, не будет превосходить 30, то есть границы 3s.

рис.7.17: График среднеквадратичной широтной невязки по совокупности звезд из табл.4.3, попавших в 20-градусную окрестность информативного ядра каталога. Показан также график числа звезд в этой совокупности. Из выборки исключались звезды, получившиеся более чем 30-минутную ошибку по широте при данной априорной датировке. Систематическая ошибка каталога была скомпенсирована

Увеличим теперь допустимое расстояние звезд до информативного ядра каталога с 20o до 25o. При этом будем по-прежнему рассмотривать лишь те звезды, у которых ошибка по широте не превосходит 30 для данной априорной датировки. Полученные графики см. на рис.7.18. Здесь представлены невязка и количество звезд, вошедших в выборку для каждой априорной датировки. Минимум среднеквадратичной невязки достигается в интервале от 800 до 1000 годов н.э. и составляет около 9, 5. Максимальное значение невязки, около 12, 5, достигается около 400 года до н.э. В эпоху якобы Птолемея и Гиппарха, то есть около начала н.э., значение невязки близко к максимальному - около 12. Количество звезд, вошедших в выборку, - от 21 до 24. В минимуме среднеквадратичной невязки в выборке оказалось 23 звезды.

рис.7.18: Аналогичный график среднеквадратичной широтной невязки по совокупности звезд из табл.4.3, попавших в 25-градусную окрестность информативного ядра каталога. Показан также график числа звезд в этой совокупности

Увеличим допустимое расстояние звезд до ядра с 25o до 30o, сохранив остальные параметры. Результат см. на рис.7.19. Опять минимально возможная невязка по широте достигается лишь после 800 года н.э. Здесь в выборке оказывается 30 звезд. Число звезд в выборке при разных априорных датировках колеблется от 20 до 31 звезды. Около начала н.э. невязка составляет около 13 . Что близко к максимальному значению на данном графике.

рис.7.19: Аналогичный график среднеквадратичной широтной невязки по совокупности звезд из табл.4.3, попавших в 30-градусную окрестность информативного ядра каталога. Показан также график числа звезд в этой совокупности


На рис.7.20, рис.7.21, рис.7.22 приведены аналогичные график для звезд удаленных от ядра каталога Альмагеста не более чем на 35o, 40o, 45o. При этом в выборке участвует около 35 - 42 звезд. Минимум среднеквадратичной невязки по широте становится все менее выраженным и начинает "уходить в будущее". Общий вид графика становится все более и более пологим, горизонтальным.

рис.7.20: Аналогичный график среднеквадратичной широтной невязки по совокупности звезд из табл.4.3, попавших в 35-градусную окрестность информативного ядра каталога. Показан также график числа звезд в этой совокупности

рис.7.21: Аналогичный график среднеквадратичной широтной невязки по совокупности звезд из табл.4.3, попавших в 40-градусную окрестность информативного ядра каталога. Показан также график числа звезд в этой совокупности
рис.7.22: Аналогичный график среднеквадратичной широтной невязки по совокупности звезд из табл.4.3, попавших в 45-градусную окрестность информативного ядра каталога. Показан также график числа звезд в этой совокупности


ВЫВОД. Итак, КАТАЛОГ АЛЬМАГЕСТА УДАЕТСЯ ДАТИРОВАТЬ ПО СОБСТВЕННОМУ ДВИЖЕНИЮ КОНФИГУРАЦИИ ПРИМЕРНО ИЗ 20 ЗВЕЗД. НАИБОЛЕЕ ВЕРОЯТНЫМ ИНТЕРВАЛОМ ДАТИРОВКИ ОКАЗЫВАЕТСЯ ТА ЖЕ ЭПОХА, ЧТО И ВЫШЕ, А ИМЕННО 600 - 1200 ГОДЫ Н.Э. При этом, оказывается нужно взять надежно отождествленные звезды, находящиеся "не очень далеко"от информативного ядра каталога. А именно, не далее чем в 20o - 25o. Если из выборки исключить звезды, которые при данной априорной датировке получают не более чем 30-минутную невязку по широте, то останется около 20 звезд. При этом возникает график среднеквадратичной невязки с хорошо выраженным минимумом. Он показан на рис.7.18. Минимум широтной невязки в 9 достигается внутри интервала 800 - 1000 годы н.э. В интервале 600-1200 годы н.э. уровень невязки практически не отличается от минимального: 9- 9, 5. В эпоху от 400 год до н.э. до 100 года н.э. значение невязки максимально и достигает 11, 5- 12.

Подчеркнем, что минимальной невязки порядка 10 на совокупности из НЕСКОЛЬКИХ ДЕСЯТКОВ ЗВЕЗД нам удалось добиться лишь соблюдая их близость к информативному ядру Альмагеста. Все остальные испробованные нами способы отбора звезд из объединения областей неба A,ZodA,B,ZodB,M - по яркости, "знаменитости"и т.п. - приводят к типичному для Альмагеста в целом значению минимума невязки около 20. Обойтись лишь одной хорошо измеренной областью ZodA тоже не удается. Возьмем, например, совокупность заметно движущихся звезд в этой области, то есть звезды из табл.4.3, попавшие в область неба ZodA. Таких звезд оказалось 12, не считая звезд информативного ядра. Если добавить все 8 звезд информативного ядра, то получится список из 20 звезд. К сожалению, точность широт в этом списке оказывается низкой. Существенно хуже, чем в области ZodA в целом. Соответствующий график среднеквадратичной широтной невязки по этим 20 звездам, как функция априорной датировки каталога Альмагеста, приведен на рис.7.23. Слабо выраженный минимум находится на уровне 23. Он достигается на интервале от 400 до 800 годов н.э. Отступая от минимума всего на 1, мы захватим интервал от 400 года до н.э. до 1500 года н.э. Таким образом, содержательной датировки по всему этому списку получить не удается, ввиду низкой средней точности широт входящих в него звезд. Даже восемь звезд информативного ядра не в состоянии повысить среднюю точность широт этого списка. Это связано с тем, что большинство заметно движущихся звезд из ZodA - довольно тусклые, а потому были измерены Птолемеем существенно хуже среднего. Напомним, что средняя точность его измерений широт по всему ZodA составляет 12--13. Что гораздо лучше, чем 23 для указанных 20 звезд.

рис.7.23: График среднеквадратичной широтной невязки по 20 звездам: 12 звезд из табл.4.3, попавшие в область неба ZodA, не считая звезд информативного ядра и 8 звезд информативного ядра. Как видно из графика, точность широт в этом списке оказывается существенно хуже, чем в среднем по области ZodA


Итак, нам удалось расширить информативное ядро каталога Альмагеста без потери требуемой точности до ПЯТНАДЦАТИ надежно и однозначно отождествляемых в Альмагесте и заметно движущихся звезд неба. Напомним, что заметно движущимися мы называем звезды, которые имеют скорость собственного движения не менее 0, 1 в год хотя бы по одной из координат. Выбор координатной системы на звездной сфере в данном случае не имеет особого значения. Ее можно взять любой. Для удобства мы взяли экваториальные координаты 1900 года, поскольку к ним приведены современные звездные каталоги, которыми мы пользовались. Приведем окончательный пятнадцати звезд, датирующих Альмагест по собственному движению. В скобках указан номер звезды в BS4 или BS5 [84].

1) 16Alp Boo (5340); 2) 13Alp Aur (1708); 3) 32Alp Leo (3982);

4) 10Alp CMi (2943); 5) 67Alp Vir (5056); 6) 21Alp Sco (6134);

7) 3Alp Lyr (7001); 8) 43Gam Cnc (3449); 9) 78Bet Gem (2990);

10) 47Del Cnc (3461); 11) 14Omi Leo (3852); 12) 24Mu Leo (3905);

13) 79Zet Vir (5107); 14) 8Eta Boo (5235); 15) 26Eps Sco (6241).
Главная страница Оглавление Продолжение