Может быть, исторические татары и татары-тюрки это разные народы?
Не могли ли татары быть славянским племенем?

Рассмотрим слово "татар". В первую очередь надо обратить внимание на окончание -ар.
В тюркских языках похожее слово означает "человек", но и в русском -- тоже. Ибо есть много слов, имеющих одно и то же значение, но различающихся похожим окончанием. Эти слова применимы всецело или преимущественно к людям

Возможно, -ар возникло на месте буквы ер или ерь (твердый и мягкий знак соответственно) и явилось своеобразным переосмыслением этих букв.

Говоря конкретно:
мать писалось как матерь, только потому, что "мягкий знак" (ерь) осознавался буквально, как сочетание букв е + р + ь.

Не исключено также, что буквы ерь и ерь (ъ и ь) были сокращением звуков, обозначенных в названии этих букв и соответствовали мужскому и женскому роду.

Еще примеры:
дочь - дщерь
батя - падре
немец - немчура.

Из современных:
десант - десантура.
Т.о., буква ер продолжает оказывать влияние на слвообразование.

Предположительно, татар было формой слова тать (вор) или тятя (отец).
Могло означать Атаманию (ата - отец) или же некую воровскую (мятежную) провинцию.

Слово тать значит вор, в значении преступник. Это бранное слово могло применяться к разбойникам. Понятию разбойника поныне принято придавать смысл безобразника, в шутливом значении. Ворами называли также нежелательных претендентов на престол (Тушинский вор, о т.н. Лжедмитрии).
Татары, соответственно, последователи вора или атамана (точное значение надо уточнить) или жители беспокойных окраин, таких как Область ВВД.

Пресловутое двуязычие на деле могло быть чем-то вроде соседства диалектов одного языка, скажем, донской балачки и московского говора.