>>САНИ (аС+АН/ИН), САНКИ (аС+аН/иН+аК), СНЕГ (аС+аН/иН+аК), SNOW (аС+аН/ИН+ОВ)) - это одно и то же слово

По-моему, логично. Сани как девайс, для чего были сделаны? - Для того чтобы можно было передвигаться по снегу (или льду, припорошенному снегом). Не по воде, не по земле, не по грязи или песку, а именно по снегу, коего на Руси зимой было предостаточно.

Вот моя деревня;
Вот мой дом родной;
Вот качусь я в санках
По горе крутой;

Вот свернули санки,
И я на бок хлоп!
Кубарем качусь
Под гору в сугроб.

И друзья - мальчишки,
Стоя надо мной,
Весело хохочут
Над моей бедой.

Всё лицо и руки
Залепил мне снег...
Мне в сугробе горе,
А ребятам - смех!..
(с)