Для начала рассмотрим диффузию углерода в кристаллической решётке железа.
Процесс диффузии описывается законами Фика, имеющими в общем виде следующее выражение:

Если концентрация диффундирующего вещества изменяется во времени, процесс описывается вторым законом Фика:

Диффузия углерода в железе изучена настолько, что экспериментальные данные приводятся даже в справочниках. Воспользуемся данными, приведенными в (2, стр.284) (Рис.1). Правда, авторы справочника скромно умалчивают о том, откуда ими взяты экспериментальные данные, предлагая нам молча догадываться, что это их собственное творчество. Кстати, и самих таблиц, содержащих указанные данные, тоже не приводят. Но, вооружившись пейнтом, и немного повозившись с линейкой и карандашиком, легко получить аналитические зависимости для коэффициента диффузии. Кстати, как видно из приведенных графиков, он зависит не только от температуры, но и от концентрации углерода.
Рис. 1


Очевидно, что экспериментальные данные, приведенные на Рис.1 описываются линейным уравнением вида:

В таблице 1 приведены данные сколки точек с диаграмм на Рис.1

В таблице 2 приведены данные, рассчитанные по коэффициентам из таблицы 1.

На основании данных таблицы 2, построена диаграмма 1.


Желающие могут, повозившись с любым редактором картинок, наложить Диаграмму 1 на Рис. 1 и убедиться лично.

Определение зависимости коэффициента диффузии от концентрации углерода было произведено без применения метода маленьких квадратиков, путем подбора коэффициентов уравнения на диаграмме в Exсel. Оценка точности подгонки осуществлялась органолептически.
В таблице 3 приведены значения коэффициентов из таблицы 2 и рассчитанные по эмпирическим уравнениям, полученным при построении диаграмм 2 и 3.




В результате обработки чужих экспериментальных данных получим следующее выражение:


Подставив D из (7) в уравнение (5) и решив его (не забыв согласовать размерности!), получим распределение углерода во времени по толщине цементируемого металла.

Для начала можно попробовать решить уравнение при условии мгновенного достижения равновесной концентрации углерода на поверхности раздела. Такая задачка проще. При этом, будем иметь в виду, что реальный процесс будет протекать несколько медленнее, поскольку для достижения равновесной концентрации углерода на границе раздела также требуется определённое время.

Если результат нас не устроит, тогда придется рассчитывать кинетический коэффициент перехода углерода через границу раздела. Данных для этого предостаточно, но рыть уже придется не монографии, а диссертации и статьи.

Конечно, решение уравнения диффузии в аналитическом выражении нам и даром не нужно. Вполне достаточно построения номограмм для ограниченного набора температур через заданные интервалы времени.

К сожалению, необходимые для решения подобной задачи знания несколько превосходит мои неограниченные умственные способности (ну, не мой это огород!).

Обращаюсь к уважаемым членам сообщества, сызмальства погружённых в среду частных производных, и берущих, в промежутке между двумя глотками кофе, интегралы по контуру - поможите, будь ласка!


Список литературы.

1. И.И. Новиков. Теория термической обработки металлов. Учебник, 2-е изд. М., Металлургия, 1974, 400с.
2. Термическая обработка в машиностроении: Справочник / под ред. Ю. М. Лахтина, А. Г. Рахштадта. - М.: Машиностроение, 1980. – 783с. Глава 11. Основы технологии химико-термической обработки стали.