\\\1. Развалины чего? Карпини "В самом центре города стоял ханский дворец. Он представлял собой светло-пурпурный шатёр на столбах, украшенных золотыми листьями, за расписной деревянной оградой".
Нашли развалины шатра?\\\\

Нашли развалины вот этого дворца:
"И дворец этот напоминает церковь, имея в середине корабль, а две боковые стороны его отделены двумя рядами колонн; во дворце три двери, обращенные к югу. Перед средней дверью внутри стоит описанное дерево, а сам хан сидит на возвышенном месте с северной стороны , так что все могут его видеть. К его престолу ведут две лестницы : по одной подающий ему чашу поднимается, а по другой спускается. Пространство, находящееся в середине между деревом и лестницами, по которым поднимаются к хану, остается пустым; именно там становится подающий ему чашу, а также послы, подносящие дары; сам же хан сидит там вверху, как бы некий бог. С правого от него бока, то есть с западного, помещаются мужчины, с левого — женщины. Дворец простирается с севера на юг. К югу, рядом с колоннами, у правого бока, находятся возвышенные сиденья наподобие балкона, на которых сидят сын и братья хана. На левой стороне сделано так же; там сидят его жены и дочери. Одна только жена садится там, наверху, рядом с ним, но все же не так высоко, как он."
Гильом де Рубрук.

\\\"Считается, что буддизм пришел в Монголию в 1577 г., когда к монгольскому Алтан хану явился правитель тибетских лам"
Большая Советская Энциклопедия определяет время проникновения буддизма в Монголию шестнадцатым веком. И именно этим временем (1585-й год) датируется стоящий рядом с развалинами буддистский монастырь.
http://www.newchron.narod.ru/
Т.е. - "дворец Угедея" - не ранее 16 века?\\\\

В 16 веке буддизм стал государственной религией, а пришёл он в Монголию гораздо раньше:

"Буддизм в Монголии распространяли тибетские миссионеры. Первая попытка введения буддизма была предпринята ими во 2-й половине 13 в. при внуке Чингисхана Хубилае, однако в тот период буддизм был принят только императорским двором и ещё несколькими представителями монгольской аристократии."

ссылка

"Там находятся двенадцать кумирен различных народов, две мечети, в которых провозглашают закон Магомета, и одна христианская церковь на краю города."
Гильом де Рубрук
Среди этих 12 , уж наверное, был и буддийский храм.