sleeve – рукав, хомут, см. «slab», «slap», «sled, sledge», «sleep», «slight», «slip», «slope»; sleeve (n.) (староанглийское «sliefe, slefe» - рукав, то, во что соскальзывает рука); из протогерманского *slaubjon; родственно староанглийскому «slefan, sliefan» - нацепить (одежду) и «slupan» - скользить; из PIE корня *sleubh- скользить (Middle Low German sloven "одеваться небрежно", Old High German sloufen "надевать и снимать"; Old English slefan, sliefan "натянуть одежду через голову (проскользнуть)" и slupan "скользить").
1675: SLEEVE (slief, Sax., sloeve, Du.) – рукав, то, что покрывает руки; (1826): Swed. slif, S. slef, slyf, T. schlippe, G. sleve – наряд, S. slefan – покрывать. Шлейф `Словарь иностранных слов русского языка`: (нем. Schleife). Удлинение в задней части женского платья, волочащееся по полу. Шлафрок: (нем. Schlafrock, от schlafen - спать, и Rock - сюртук). То же, что халат. "Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка". Чудинов А.Н., 1910.
Клюге: schleife – волокуша, салазки; бант, петля; из ModHG. schlaufe, MidHG. sloufen – толкать, скользить, одеваться; Goth. slaupjan – раздеваться, AS. slupan – скользить, Goth. sliupan – скользить, OHG. sliofan, MidHG. sliefen – скользить, L. lubricus – скользский, Lith. slubnas – слабый.
Дворецкий: lubricus, a, um: 1) гладкий, скользкий; покрытый слизью; 2) подвижный; шатающийся; гибкий; быстрый, текучий, стремительный; быстротекущий, мимолётный; 3) ненадёжный, сомнительный, рискованный, опасный; 4) очаровательный, соблазнительный; обманчивый, полный соблазна; labo, avi, atum, are: 1) шататься, колыхаться, колебаться || качаться, спадать; 2) слабеть; 3) погибать, приходить в упадок; 4) быть нетвёрдым, колебаться, дрогнуть; I labor, lapsus sum, labi:1) скользить; опускаться, спускаться; катиться, спадать, медленно падать; капать, падать; 2) пролетать; взлетать; плыть, нестись; 3) виться, обвиваться; 4) скатываться; сваливаться; ниспадать; свисать, обвисать; 5) вытекать, течь; 6) смежаться, слипаться; 7) распространяться, разливаться; уплывать; 8) (о времени) протекать, проходить; 9) ускользать, забываться;; 10) ошибаться, заблуждаться, погрешать; 11) мало-помалу доходить, клониться, погружаться, впадать; 12) приходить в упадок, портиться; 13) клониться к упадку или к закату: labarum, i: лабарум (начиная с Константина I), государственное знамя императорского Рима (с изображением креста и инициалов Иисуса Христа). labina, ae f : обвал (откуда «лавина», т.е. «слабина», вероятно, отсюда и «лава»).
Де Ваан: IE: OCS slabъ, Rus. slabyj, SCr. slab – слабый, Latv. slabs, slabens – слабый, Lith. slabnas – слабый; OHG. slaf, MoDu. slap. В греческом - «λεπτός» - малый, слабый, откуда «лепта» - мелкая монета (Дьченко).
Слабеть – СЛБТ – (Σ) ΛВТ – ΛΠΤ. Изначально – «хлюп», «хлябь», «шлеп» - «слаб» - СЛБ - (S) LB (F, V). Вероятно, отсюда и «раб».
Относительно «labor» - труд, см. «labor», «service», «slave». В нем. - «Schlange» - змея (Клюге): MidHG. slange, OHG. slango, OIc. slange – змея; Du. slang; schlinge – то, что извивается, ModHG. schlangeln (отсюда «шланг»); schlauch – кожаная сумка, бурдюк, бутылка, трубка, воронка; MidHG. sluch – сброшенная кожа змеи, кожаная сумка, трубка, рукав; E. «slough», Swed. slug, MidHG. sluch – горло, залив, глубина (тут несолько слов, кроме «слука», еще и «слезу» и «шелушу» (и «шуршу»), сляча, слузь.
Даль: сляцати, слякнути церк., стар. сгибать, спрягать, гнуть лучком; крючить, сгорбить, скорчить, свести. Фасмер: ст.- слав. сълѩкѫ, сълѩшти (ср. еще «слука» - изогнутая часть седла, «излучина»). Вероятно, изначально – сляка, слякоть (исходное «зияю» - «сую» - «сел» - «осел» - «слуд» (слузь) – сляча, (слякоть) – СЛК (Ч) – SLCH – SL (N) G (ответвление – слузь, сляка, сляча, лужа – излучина – лука, сълѩкѫ, слука (далее – разлучу, разлука, т.е. разогнуть луку); сюда же – случать, случка).
Вполне возможно, что понятие «рукав» изначально связано со слизь (слузь, сляка, сляча) в значении «скользить» - СЛК (Ч) – SLCH – SLTH – SLF – SLV.
Интересно и русское соответствие – сливати – сливосовати (выглаживать, разглаживать, полировать (то же – сливотеритиб сливотерти (ЭСРЯ XI – XVII, 25, 85), ср. «шлифовать» и «слива»