skill – умение, мастерство, см. «school»

skill (n.) (умение распознавания, проницательность); из старонорвежского «skil» с теми же значениями; родственно «skilja» - отделять, видеть, понимать; из протогерманского *skaljo- отделять, делить
late 12c., "power of discernment," from Old Norse skil "distinction, ability to make out, discernment, adjustment," related to skilja (v.) "to separate; discern, understand," from Proto-Germanic *skaljo- "divide, separate" (cognates: Swedish skäl "reason," Danish skjel "a separation, boundary, limit," Middle Low German schillen "to differ," Middle Low German, Middle Dutch schele "separation, discrimination;"

1675:
SKILL (skell, Dan., schola (ученый, школа, сообщество); scio (знать, понимать, испытывать), L.,(שכל) – быть мудрым (шкл) – способность, знание, опыт

Школить `Словарь иностранных слов русского языка`
Держать строго, воспитывать под присмотром, бранить.
(Источник: "Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка". Чудинов А.Н., 1910)
Учить, поступать строго.
(Источник: "Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русский язык, с означением их корней". Михельсон А.Д., 1865)

Т.е. в основе отнюдь не раскалывать, а понятие «сошел» (ся), ср. с σχέδιος (σχεδόν) – близкий, т.е. «сход». И «скол, сколю, скала» здесь абсолютно не причем. Не мудрено иностранцу спутать понятия «скол» и «сошел», корень – то, один. Замена «ш» - «sch» - «sk», т.е. со временем, «ш» превратилась в «k»

Кстати, у латинского «schola» есть и значение «галерея, с сиденьями вокруг купального бассейна», т.е. просто «сел», что и позволило буйным фантазерам от истории, изображать «древних» философов, прогуливающихся около бассейнов и гуляющих (шел) в рощах с трепетными юношами в обнимку.