sledge - сани, санки; кувалда; ехать на санях, бить кувалдой

sledge (n.1) (тяжелый молот); из староанглийского «slecg» - молоток, молот; из протогерманского *slagjo- ; родственно «slege» - бить, ударять и «slean» - бить
"heavy hammer," Old English slecg "hammer, mallet," from Proto-Germanic *slagjo- (cognates: Old Norse sleggja, Middle Swedish sleggia "sledgehammer"), related to slege "beating, blow, stroke" and slean "to strike" (see slay (v.)). Sledgehammer is pleonastic.

sledge (n.2) (салазки, сани); из диалектического нидерландского «sleedse», разновидность слова «slede»
"sleigh," 1610s, from dialectal Dutch sleedse, variant of slede (see sled (n.)); said by OED to be perhaps of Frisian origin.

slay (v.) (убивать); из староанглийского «slean» - ударять, бить, убивать; из протогерманского *slahan; из корня *slog- бить
Old English slean "to smite, strike, beat," also "to kill with a weapon, slaughter" (class VI strong verb; past tense sloh, slog, past participle slagen), from Proto-Germanic *slahan, from root *slog- "to hit" (cognates: Old Norse and Old Frisian sla, Danish slaa, Middle Dutch slaen, Dutch slaan, Old High German slahan, German schlagen, Gothic slahan "to strike"). The Germanic words are from PIE root *slak- "to strike" (cognates: Middle Irish past participle slactha "struck," slacc "sword").

sled (n.) (санки, салазки); из средненидерландского «sledde» - санки; из протогерманского *slid-
early 14c., "a dragged vehicle used for transport of heavy goods," from Middle Dutch sledde "sled," from Proto-Germanic *slid- (cognates: Old Saxon slido, Old Norse sleði, Danish slæde, Swedish släde, Old High German slito, German Schlitten "sledge"), from the same root as Old English slidan (see slide (v.)).

slide (v.) (скольжение, каток, скользить); из староанглийского «slidan» - скользить, скатываться; из протогерманского *slidan – плавно скользить, течь; из PIE корня *sleidh- скользить, течь
Old English slidan (intransitive, past tense slad, past participle sliden) "to glide, slip, fall, fall down;" figuratively "fail, lapse morally, err; be transitory or unstable," from Proto-Germanic *slidan "to slip, slide" (cognates: Old High German slito, German Schlitten "sleigh, sled"), from PIE root *sleidh- "to slide, slip" (cognates: Lithuanian slystu "to glide, slide," Old Church Slavonic sledu "track," Greek olisthos "slipperiness," olisthanein "to slip," Middle Irish sloet "slide").

Слово «sledge», как молот = слега, сляга. СЛГ – SL (D) G

Даль:
сляга, арх. слега, тонкое, долгое бревно, рычаг.

Фасмер:
сляга сляга́ "тонкое, длинное бревно, рычаг", арханг., слега́ – то же (Даль), слёга "тонкая, длинная жердь", донск. (Миртов), ослеги, слеги "толстые колья", олонецк. (Кулик.), переслега "перекладина", псковск., тверск. (Даль). Форму на – е - ввиду одинакового знач. не имеет смысла отрывать от форм на – я -. Но ср. укр. слíги мн. "толстые перекладины, мосток", наряду со сляж, род. п. - а́ м. "перекладина", мн. сляжí, а также сляг "перевозное судно – паром, лодка", тверск. (Даль). Формы на ѣ (= укр. i) сближаются с лит. slė́gti, slė́giu "давить", slėktis "жом, пресс". Русск. формы на - я- возводят к *слѧг- и сближают с лит. sleñksnis, sleñkstis "порог", лтш. slìeksnis – то же, которые Лескин (Abl. 343) относит с колебаниями к лит. sliñkti "красться". Лтш. sleñ̨ǵe, sleñ̨ǵis "дверной косяк", которое Маценауэр относит сюда же, согласно Мюленбаху–Эндзелину (М.–Э. 3, 926), заимств. из ср.- н.- нем. slenge "рамка", откуда и эст. leng "плетенка". По мнению Зубатого (там же), балто-слав. слова связаны с нов.- в.- н. schlank "стройный", нж.- нем. slank "тонкий, гибкий" и родственными. Далее Террас (ZfslPh 19, 123) сближает это слово с *lǫčiti (см. лучи́ть I). Происхождение слов сляга́, слега́ можно будет выяснить только при условии привлечения более древних примеров

Т.е. слова «сложу, слягу, слажу» Фасмеру не ведомы. Ср. так же – сланец, англ. «slate» и «стланец», «слонец» (Горяев)

Салазки и сляга – одно и то же, далее - «sledge» или «sleight»; после отпадения «g» - осталось «sled», которое к русскому «след» вряд-ли имеет отношение.

1675:
SLED, SLEDGE (sledde, Belg., schlitten, Teut., slede, Dan.) – разновидность повозки без колес, применяется, как в виде плуга, так для перевозки господ в странах с холодным климатом.

Англ. «slide» - так же «слить»; слизь, слень (Горяев), там – же – ст. сл. слузь; слуды – слоистый лед, слудъ, наслудъ, слюда, слой, вероятно и «след»

Горяев: слѣдъ, послѣдъ и пр. болг. слѣд, серб. следовати, чеш. sled, slidnik, пол. sledzic, slad, прус. slidenikis – ищейка, лот. slede – колея; ан. сакс. slidan – скользить, англ. sled – сани; сляндать, шлендать (обл.), пол. szlach, slad – дорога

Слѣмѧ – ст. сл. – бревно, малор. селемено, чеш. slime, словин. slime, серб. шльеме, пол. szlemie, гр. σελμα – доска, сидение для гребцов, др. сакс. selmo – кровать, лит. selmu, selmen (фронтон), salmo – длинное бревно, русск. слега.
В основе, вероятнее всего – шел, сел, так же и солью – слить. Если слегой двинуть – мало не покажется, бревно же. Слѣмѧ – СЛМ – SLM – SLN – slean – slay; или «сломаю»;


На самом деле - сражу, сразить, сражен
1675:
SLAUGHTER (slæhte, Sax., Schlacht, Teut.) – убийство; To SLAY (slægan, Sax., schlagen, Teut.) – убить; A SLAY (Slæ, Sax. от slæᵹan, Sax.) – инструмент, относящийся к ткацкому станку, так же – рама ткацкого станка

СРЖ – SRG (N) – SLG (N) – slægan – «slaughter», «slay», переход «g» - «y».