sleep – сон, засыпать

sleep (v.) (староанглийское «slæpan» - спать, бездействовать); из протогерманского *slepan; из PIE корня *sleb- быть слабым, спать
Old English slæpan "to be or fall asleep; be dormant or inactive" (class VII strong verb; past tense slep, past participle slæpen), from Proto-Germanic *slepan (cognates: Old Saxon slapan, Old Frisian slepa, Middle Dutch slapen, Dutch slapen, Old High German slafen, German schlafen, Gothic slepan "to sleep"), from PIE root *sleb- "to be weak, sleep" (cognates: Old Church Slavonic slabu "lax, weak," Lithuanian silpnas "weak"), which perhaps is connected to the root of slack (adj.).

1826:
SLEEP, v., n. – отдыхать, быть не активным, умереть; M.G. “slepan”; S. “sleepan”; T. “schlafen”; B. “slaapen”; G. “sofa”; D. “sove” – спать, L. “sopio”

Основная версия – слабый, ослаб, ослабел, ср. «slumber» - спать, дремать. Ослабел – СЛБЛ – SLBL – SLBR – SLP - sleep

Клюге:
SCHLAF – спать, дремать; MidHG, OHG. – “slaf”, MidHG. “slafen”; OHG. “slafan”; OIc. “sofa”; Aryan “swep”; Lat. “sonmus”; Gr. “ΰπνος”; Goth. “sleps”; “slepan”; AS. “sloep”; “sloepan”; Du. “slap, slapen”; OSax. “slap, slapen”
SCHLAFF – расслабленный; MidHG., OHG. “slaf”; LG. Du. “slap”; OSlov. “slabй”

Фасмер:
слабый сла́бый слаб, слаба́, сла́бо, укр. слаби́й, блр. сла́бы, др.- русск. слабъ, ст.- слав. слабъ ἀγενής, ἄνανδρος (Супр.), болг. слаб, - а, -о, сербохорв. сла̏б, сла̏ба, сла̏бо, словен. slàb, slába, чеш. slabý, sláb, польск., в.-луж., н.- луж. sɫаbу. Родственно лит. slõbti, slobstù, slobaũ "слабеть, терять сознание", лтш. slãbt "обмякнуть, поникнуть", лит. жем. slãbnas "слабый", slambù, slàbti "слабнуть", д.- в.- н. slaf "слабый, вялый", ср.- нж.-нем., нж.- нем. slap – то же, гот. slēраn "спать", др.- исл. slápr "ленивый человек", возм., также лат. lābor, lāpsus sum, lābī "скользить, проскальзывать" (И. Шмидт, Vok. I, 162 и сл.; 2, 121; М.–Э. 3, 921; Траутман, ВSW 270; Мейе–Эрну 595; Вальде–Гофм. I, 739; Педерсен, Kelt. Gr. I, 491 и сл.; Торп 537. Сюда же, по мнению Младенова (668), болг. хла́бав "слабый". •• <Махек (ZfS, I, 1956, стр. 34) объясняет долготу гласного – а - в слав. слове, при краткости гласного, напр., в д.- в.- н. соответствии, экспрессивным удлинением. – Т.>

Родственно, «слобода», «свобода». Не сюда ли – слепой? Слеп. Или к луп, луб, лип? Или же к «хилый», т.е. к «коло» - круг, тот, кто гнется. Ср. «хлипкий»

Лат. и гр. слова из «сон», ст. сл. съпнъ, съпати т.е. родственно «соплю», «успение» (Горяев); серб. сан, чеш. sen, snim, sniti, пол. sen, санскр. svapiti (спит), svapnas, зенд. hvafana, осет. xussum, xust, лит. sapnas, ΰπνος, лат. spoor (глубокий сон = сопел), sopio – засыпаю, somnus, somniare – сниться, фр. somnolent (сонливый), imsomnie (бессоница), ан. сакс. svefan (спать), др. сев. герм. sofa, svefn – сон, др. ирск. suan