stream – ручей, поток, течение; течь, вытекать, см. «storm»

stream (n.) (староанглийское «stream» - поток); из протогерманского *straumaz; из PIE корня *sreu- течь
Old English stream "a course of water," from Proto-Germanic *straumaz (source also of Old Saxon strom, Old Norse straumr, Danish strøm, Swedish ström, Norwegian straum, Old Frisian stram, Dutch stroom, Old High German stroum, German Strom "current, river"), from PIE root *sreu- "to flow" (see rheum).

rheum (n.) (насморк, выделения, сброс слизи); из старофранцузского «reume» - насморк, простуда; из латинского «rheuma»; из греческого «ρεύμα» - течение, поток, флюс, ревматизм; из «ρέω» - течь, стремиться, устремляться; распространяться, растекаться, исчезать, пропадать; из PIE корня *sreu- течь
"mucous discharge," late 14c., from Old French reume "a cold" (13c., Modern French rhume), from Latin rheuma, from Greek rheuma "discharge from the body, flux; a stream, current, flood, a flowing," literally "that which flows," from rhein "to flow," from PIE root *sreu- "to flow" (source also of Sanskrit sravati "flows," srotah "stream;" Avestan thraotah- "stream, river," Old Persian rauta "river;" Greek rheos "a flowing, stream," rhythmos "rhythm," rhytos "fluid, liquid;" Old Irish sruaim, Irish sruth "stream, river;" Welsh ffrwd "stream;" Old Norse straumr, Old English stream, Old High German strom (second element in maelstrom); Lettish strauma "stream, river;" Lithuanian sraveti "to trickle, ooze;" Old Church Slavonic struja "river," o-strovu "island," literally "that which is surrounded by a river;" Polish strumień "brook").

Слово «rheum» к слову «stream» практически не имеет отношения. Греческое «ρέω» имеет два источника
1. Лью – ЛЮ – ΛΩ – ΡΩ
2. Рею – РЮ - ΡΩ
Нет, на уровне корней, «-л» и «-р» слова родственные, несомненно.

Старчевский: стръмение, см. стръмлеины; стръмниа – стремнина, пропасть; стръмитисѧ – стремиться вперед; стръмница – крепость, стойкость; стръмлѥниѥ – стремление, сильное желание; стръмливъ – стремительный, силой захваченный; стръмо – через пропасть; стръмъ – прямой; стръмьнина – стремнина; стръмьниньскъ – крутой, стремительный; стръмьство - грабительство

Стремиться `Толковый словарь Ефремовой`
несов. 1) а) Быстро двигаться, стремительно направляться куда-л. б) Простираться, тянуться в каком-л. направлении (о дороге, тропинке и т.п.). 2) Устремляться мыслями, чувствами куда-л.; испытывать влечение к кому-л., чему-л. 3) Стараться попасть куда-л., стать кем-л. 4) а) Настойчиво добиваться чего-л. б) Иметь определенную направленность в развитии, в достижении чего-л.

Стремиться `Этимологический словарь русского языка`
стремиться Возвр. форма к общеслав. стрьмити, образованному с помощью суф. -ити от стрьмъ (ср. др.- рус. стрьмъ «обрывистый, крутой», диал. стремя «быстрое течение», сербохорв. стрм «крутой» и т. д.). Стремиться буквально — «низвергаться, быстро течь»

Горяев: Стремиться, стрему, стрем, стремен, стременить, устремлять, стремление, стремительный, стремнина, стремглав, малор. стермо, ст. сл. стръмъ, стръмьнъ, стръмиѫти; гр. ορμή – порыв, стремление, напор, натиск; санскр. sisarti, sarati – бежит, спешит, течет; sarit – река; нем. Sturm, англ. storm, нем. strom, stromen – течь, стремиться; stromung – течение. др. в. нем. strom, исл. straumr, лит. straume

СТР (М) – STRM – «stream», в основе – «с» + «тр» / «др», ср. «содрать», «содранный», «сотру», «дрома» - дорога (Дьяченко); струя, острый.