mug – кружка; прохладительный напиток; рот; гримаса; экзамен

mug (n.1) (сосуд для питья, горшок, кувшин; происхождение неизвестно, возможно – скандинавское или нижнегерманское)
"drinking vessel," 1560s, "bowl, pot, jug," of unknown origin, perhaps from Scandinavian (compare Swedish mugg "mug, jug," Norwegian mugge "pitcher, open can for warm drinks"), or Low German mokke, mukke "mug," also of unknown origin.

mug (n.2) (лицо); связано с тем, что у тех, кто выпивает, лицо становиться искаженным
"a person's face," 1708, possibly from mug (n.1), on notion of drinking mugs shaped like grotesque faces. Sense of "portrait or photograph in police records (as in mug shot, 1950) had emerged by 1887. Hence, also, "a person" (especially "a criminal"), 1890.

mug (v.1) (зубрить, дробить, изначально – бить морду (в кулачном бою, боксе); из «mug (n.2)»
"to beat up," 1818, originally "to strike the face" (in pugilism), from mug (n.2). The general meaning "attack" is first attested 1846, and "attack to rob" is from 1864. Perhaps influenced by thieves' slang mug "dupe, fool, sucker" (1851). Related: Mugged; mugging.

mug (v.2) (переигрывать – театральный сленг)
"make exaggerated facial expressions," 1855, originally theatrical slang, from mug (n.2). Related: Mugged; mugging.

В основе – мочу или макаю, скорее – первое, хотя смысл и перекрещивается

1826:
MUGGY, a – мглистый, туманный, наполненный слезами, сырой, влажный (“misty”; “moist” – это все разновидности слова «мочить»); P. “migh” – облако; Isl. “mugga”; Scot. “mochy” – туманный. Так же «muck» - навоз, навозная жижа.

Замена «ч» - «с» - «G». МЧ – MC – MG – mug

Насчет значения «лицо» - в словарях до 20 века – отсутствует. А «мочить», в значении «бить» в русском есть
Мочить Словарь русского арго
мочить
МОЧИТЬ, мочу, мочишь; несов. 1. кого куда, чем и без доп. Бить, избивать. 2. что и без доп. Делать что-л. быстро, активно; делать что-л. особенное. Корки (или феньки, пенки, номера и т. п.) мочить — устраивать что-л. необычное, смешное, запоминающееся, яркое, сочное, остроумное, неподражаемое.

Так же «мучаю»; лицо исказила гримаса муки, мучения. Учение – мучение; плохо сыгранная роль – мучение, мука; впрочем, как и зубрежка текстов.