brain – мозг, ум.
brain (n.) (староанглийское «brægen»); из протогерманского *bragnam; из PIE корня *mregh-m(n)o- череп, голова, греч. «βρεχμός» - верхняя часть черепа, темя. По Либерману – только в западногерманских языках из PIE *bhragno – что-то разбитое.
Old English brægen "brain," from Proto-Germanic *bragnam (cf. Middle Low German bregen, Old Frisian and Dutch brein), from PIE root *mregh-m(n)o- "skull, brain" (cf. Greek brekhmos "front part of the skull, top of the head"). But Liberman writes that brain "has no established cognates outside West Germanic ..." and is not connected to the Greek word. More probably, he writes, its etymon is PIE *bhragno "something broken."

The custom of using the plural to refer to the substance (literal or figurative), as opposed to the organ, dates from 16c. Figurative sense of "intellectual power" is from late 14c.; meaning "a clever person" is first recorded 1914. Brain teaser is from 1923. Brain stem first recorded 1879, from German. Brain drain is attested from 1963. An Old English word for "head" was brægnloca, which might be translated as "brain locker." In Middle English, brainsick (Old English brægenseoc) meant "mad, addled."

Забавное греческое слово «βρεχμός». Верх + моз (г).

Фасмер:
мозг род. п. - а, укр. мо́зок, мíзок, блр. мо́зок, др. - русск., сербск.-цслав. мозгъ μυελός, ст.-слав. прилаг. можданъ (Рs. Sin.). Из *мозгѣнъ, болг. мо́зък, сербохорв. мо̏зак, род. п. мо̏зга, словен. mȏzg, чеш. mozek, диал. mozg, слвц. mozog, польск. mózg, mozgu, в.-луж. mozh, н.-луж. mózg. Родственно др.-прусск. muzgeno ж. "костный мозг", лит. smãgenys (м. р. мн. ч.) "мозг" (из *mazgen-), smãgenės (ж. р. мн. ч.) – то же, smegenos (ж. р. мн. ч.), smegenys "мозг, костный мозг", лтш. smadzenes "мозг" (s- в этих формах, возм., происходит от лит. smãkrės "мозг"). Сюда же, далее, относятся др. - инд. majján- м., majjā́ ж. "костный мозг", авест. mazga- – то же, д.-в.-н. marag, marg – то же, тохар. А mäśśunt; см. Траутман, Арr. Sprd. 380; ВSW 172 и сл.; М.–Э. 3, 947; Уленбек, Aind. Wb. 210; Торп 318; Шпехт 78; KZ 59, 244. Кроме того, пытаются определить дальнейшие связи с лит. mazgóti "мыть", др. - инд. májjati "погружается", mergere "погружаться" (см. Клюге-Гетце 377), а также с мезга́ (Торп 318), мзга "гниль" (Зубатый, AfslPh 16, 400); последние комбинации весьма сомнительны.
Очень странно, что Фасмер отрицает связь со словом «мезга».

мезга мезга́ "молодая, более мягкая древесина между корой и сердцевиной", "мякоть красной свеклы и картофеля, кашица", укр. мiзка́ "сердцевина тыквы", др. - русск. мѣзга, болг. млезга́ "сок дерева" (-л - под влиянием млезиво), сербохорв. ме́зга, ме́згра – то же, словен. mẹ́zgа – то же, чеш. mízha, míza, слвц. miazga, польск. miazga, в.-луж. mjezha, н.-луж. mjezga. Праслав. *mězgа родственно ср.-в.-н. meisch "небродивший солод, брага", др. - англ. mǽsc-, máх-wyrt "солодовый корень", англ. mash "раздавливать"; далее ср. сербохорв. мѝжати "мочиться", др.-лит. minžu, mį̃žti – то же, др. - инд. mḗhati "испускает мочу", авест. maēzaiti "мочится, удобряет", греч. ὀμείχειν – то же, др.-исл. míga, гот. maihstus "навоз", лат. meiō, mingō, -еrе "мочиться", арм. mizem "мочусь"; см. Бернекер 2, 54 и сл.; И. Шмидт, KZ 25, 128; Педерсен, IF 5, 73; Вальде–Гофм. 2, 60 и сл. Ср. словен. iz breze mzi "с березы капает" (Плетершник I, 579). См. также Брандт, РФВ 22, 257.

1675:
BRAIN (Bræᵹan, Sax. Bragen, L.S.) all the soft Substance contained within the Skull. Вся мягкая субстанция, хранящаяся внутри черепа.

1826:
BRAIN, s. the soft substance within the scull, sense, understanding; G. “huarn”, Swed. “hierna”, O.E. “harne”; B. “brein”, S. “bragin”; T. “pregin”, corresponding with “περικράνιον”- окружающий или покрывающий череп (Вейсман), περικράνιος.

Понятно, русское слово «хранить», точнее – предохранить, далее «π» - «p» - «b». Другое развитие – «беречь», «бережен», «оберег», «обережен». Саксонское “Bræᵹan”. Затем выпуск буквы «g».