bush – куст, кустарник, густые волосы; втулка.

bush (n.) (кустарник, заросли, растение с множеством стволов); староанглийское «bysc»; из западногерманского *busk; вероятно, испытало влияние или может быть сочленено со скандинавскими словами и со старофранцузским «busche» - древесина, дрова для растопки, а так же с англо-французским «bosca», из среднелатинского «busca» того же значения.
"many-stemmed woody plant," Old English bysc, from West Germanic *busk "bush, thicket" (cf. Old Saxon and Old High German busc, Dutch bosch, bos, German Busch). Influenced by or combined with cognate words from Scandinavian (cf. Old Norse buskr, Danish busk, but this might be from West Germanic) and Old French (busche "firewood," apparently of Frankish origin), and also perhaps Anglo-Latin bosca "firewood," from Medieval Latin busca (whence Italian bosco, Spanish bosque, French bois), which apparently also was borrowed from West Germanic; cf. Boise.

1675:
BUSCA, BUSCUS, A BUSH – underwood, or Brush-wood. O.L. of Busch, Teut., Buisson, F., bosco, Ital. a Wood) a Hodge or Thicket of Shrubs, or Thorn-bush, etc. Подлесок или кустарник; заросли кустарника или терна. Интересно, что слова «Hodge» применительно к лесу в современном словаре нет. Есть только значение «батрак». Ходить, хождение? Скорее всего.

1826:
BUSH, a thick shrub, a thicket; Swed. “buske”; B. “bosch”; D. “buske”; T. “busch”; It. “bosco”; F. “bois”. Густой кустарник, заросли.
Это русское слово «пуща». Замены «п» - «b» и «ш» - «sh».

Фасмер:
пуща пу́ща "густой, непроходимый лес", зап., южн., укр. пу́ща – то же, др.-русск. пуща "пустынное место", чеш. роušt᾽ ж. "глухое, пустынное место", слвц. рúšt᾽, польск. puszcza "бор; дремучий лес". Из *pusti̯a, связанного с пусто́й.

Видимо сюда же – пук, пухлый, пышный, например, в словаре 1675:
BUSH (among Hunters) the tail of the Fox. Охотничье – лисий хвост. А он пышный.
.

Так что этимология от Фасмера – под сомнением. Густой кустарник – это не пустыня, там зверей и птиц навалом.

Кроме того, «bush» в значении «втулка». Пускать, пущу, пропущу (через отверстие)