Покажу что слово не греческое, но сначала официоз:

ВАЙЯ (от греч. baion - пальмовая ветвь).
http://bioword.narod.ru/V/V004.htm

А теперь:


http://litopys.org.ua/berlex/be64.htm


http://litopys.org.ua/berlex/be18.htm

Маю это махаю, машу (маню).
Хвею, вею; веять ( веник?, веер, ветка?).

То что тонко и качается, волнуется от ветра, вихря, волнения воздуха..

Можно набрать много смысловых оттенков, но слово судя по обилию родственных, точно не заимствовано (у греков).